Brownův pohyb

Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.

Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

Brownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.

(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

$m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\xi v+F'(t)$

kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): $F_{f}=\xi v=6\pi \mu rv$
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

$mx_{i}{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}$

Upravíme (derivace součinu):

$m[{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}-{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}]=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}$

Střední hodnota:

$m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-m<{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}>=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>+<F'(t)><x_{i}>$

Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:$<x_{i}>=0$

Ekvipartiční teorém ve 3D:$1/2mv^{2}=3/2kT$ kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

$m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-3kT=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>$

Řešení této diferenciální rovnice je (protože $<x_{i}{\dot {x}}_{i}>(0)=0$):

$<x_{i}{\dot {x}}_{i}>={\frac {3kT}{\xi }}(1-\exp(-\xi t/m))$

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

$1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<r^{2}(t)>=1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<x_{i}x_{i}>=<x_{i}{\dot {x}}_{i}>$

Dostaneme:

$<r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}\int (1-\exp(-\xi t/m))\mathrm {d} t={\frac {6kT}{\xi }}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))]$

Aproximace: $t\xi /m>>1$ odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:

$<r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}t={\frac {kT}{\pi \mu r}}t$

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní $1/2mv^{2}=1/2kT$, jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

$<r^{2}(t)>={\frac {2kT}{\xi }}t={\frac {kT}{3\pi \mu r}}t$

Odkazy

Související články

• Wienerův proces
• Entropie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Brownův pohyb na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Molekulový pohyb v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
• Seznam děl v Souborném katalogu ČR, jejichž autorem nebo tématem je Brownův pohyb

Autoritní data	NKC: ph195850 PSH: 3274 BNF: cb11979550d (data) GND: 4128328-4 LCCN: sh85017266 NDL: 00560924 NLI: 987007292433205171

Portály: Fyzika | Matematika