Brownův pohyb
Brownův pohyb je náhodný pohyb mikroskopických částic v kapalném nebo plynném médiu. Je limitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, že molekuly v roztoku se vlivem tepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrná teplotě systému.
Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce 1827 biolog Robert Brown, když pozoroval chování pylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce 1905 Albert Einstein, vycházeje z kinetické teorie látek.
Souvislost s difuzí
editovatBrownův pohyb má význam např. pro pochopení difuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základě stochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyšší koncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celková entropie systému se zvýší.
(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)
Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb
editovatVyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):
kde v je rychlost, F'(t) fluktuující síla, ξ je frikční koeficient.
Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici):
Kde μ je dynamická viskozita. r je poloměr částice.
Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:
Upravíme (derivace součinu):
Souřadnice je nekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě:
Ekvipartiční teorém ve 3D: kde k je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota
Po úpravě dostaneme:
Řešení této diferenciální rovnice je (protože ):
Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:
Dostaneme:
Aproximace: odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:
Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.
Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až na ekvipartiční teorém, který v 1D zní , jelikož máme jen jeden stupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:
Odkazy
editovatSouvisející články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu Brownův pohyb na Wikimedia Commons
- Encyklopedické heslo Molekulový pohyb v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
- Seznam děl v Souborném katalogu ČR, jejichž autorem nebo tématem je Brownův pohyb