Otevřít hlavní menu

Moment hybnosti

pseudovektorová fyzikální veličina popisující rotační pohyb tělesa.
(přesměrováno z Impulsmoment)

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

ZnačeníEditovat

  • Symbol veličiny:   , někdy také b (vektor)
  • Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m2.s-1

DefiniceEditovat

 
Hybnost (p) Moment hybnosti (L) Moment síly (τ = M) Průvodič (r) Síla (F)

Moment hybnosti   hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče   a hybnosti  ,

 .

Vztah k momentu sílyEditovat

Vyjdeme-li ze vztahu   pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

 ,

kde   je polohový vektor,   je rychlost,   je hmotnost (hmotného bodu),   je hybnost,   je moment síly,   je moment hybnosti,   je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin  , tzn. v rovnici člen  , je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu   je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro  -tý hmotný bod podle vztah  . Z vlastností momentu síly pak plyne

 ,

kde   představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlostiEditovat

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí   a momentem hybnosti jako

 

Vztah k mometu setrvačnostiEditovat

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako  . Moment hybnosti soustavy   hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

 

kde   označuje polohu  -tého hmotného bodu s hmotností   vzhledem k těžišti a   je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

 

Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti   vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako   a složky průvodiče   jako  , můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti   pak lze získat

 
 
 

kde   jsou momenty setrvačnosti k  -té ose a   jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou

 
 
 

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako

 

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

 

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol   označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

 

a rotační energii tělesa ve tvaru

 

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impulsEditovat

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls  

 

Pokud je silový moment   po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

 

VlastnostiEditovat

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních silEditovat

Součet momentů vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil:   je moment hybnosti  -tého bodu. Mezi  -tým a  -tým bodem působí síla  . Celkový moment vnitřních sil je  . Uvažujme nyní pouze interakci  -tého a  -tého bodu:  ,

kde   je spojnice  -tého a  -tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechaniceEditovat

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

 

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls   lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

 

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

 

 

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat