Keplerovy zákony

Keplerovy zákony jsou tři fyzikální zákony popisující pohyb planet kolem Slunce. Platí však obecněji pro pohyb libovolného tělesa v centrálním silovém poli, tedy v oblasti působení nějaké dostředivé síly, jejíž přitažlivost klesá s druhou mocninou vzdálenosti stejně jako gravitace výrazně hmotnějšího tělesa. Lze je tedy použít například i na pohyb Měsíce či umělé družice kolem Země, avšak s menší přesností, neboť vliv Slunce je v tomto případě nezanedbatelný.

Historie

Johannes Kepler při odvození těchto zákonů využil systematická a ve své době nejpřesnější astronomická měření Tychona Brahe, jemuž byl Kepler asistentem v letech 1600 až 1601. První dva zákony vydal ve svém díle Astronomia nova (1609), třetí vyšel roku 1618 v Harmonices mundi. Později (1687) Isaac Newton ukázal, že Keplerovy zákony jsou důsledkem jeho obecnější fyzikální teorie mechaniky a gravitace.

Formulace zákonů

1. Keplerův zákon

Keplerův první zákon.

Planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách (přesněji trajektoriích), v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.

Význam 1. Keplerova zákona

Tento zákon popisuje tvar trajektorií planet pohybujících se v gravitačním poli Slunce. Říká, že planety se pohybují po rovinných křivkách (elipsách či kružnicích), kolem stálého středu (centra). To znamená, že vektor zrychlení, a tedy i síla způsobující tento pohyb, leží v rovině dráhy. Planety se periodicky vzdalují a přibližují ke Slunci.

Planety obíhají kolem Slunce, takže geocentrický popis nebeské mechaniky již není vhodný.

Planety ale nemají příliš výstřednou dráhu, takže v prvním přiblížení lze uvažovat, že se pohybují po kružnici. Tento zákon však platí i pro komety, které se pohybují po značně výstředných drahách. Pravděpodobnost, že by se nějaké těleso (dlouhodobě) pohybovalo okolo Slunce přesně po kružnici, je nulová, protože kružnice je ideální případ, ke kterému se lze v praxi pouze přiblížit, ale nelze ho dosáhnout.

Roviny drah všech planet procházejí středem Slunce, jsou přibližně totožné. Slunce se nachází v ohnisku dráhy každé planety. Hlavní vrchol elipsy, v němž je planeta nejblíže Slunci, se nazývá přísluní (perihélium) a hlavní vrchol, v němž je planeta nejdále od Slunce, se nazývá odsluní (afélium).

2. Keplerův zákon

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

Keplerův druhý zákon.

Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké.

Průvodič planety je spojnice hmotného středu planety s hmotným středem Slunce. Velikost i směr průvodiče se při pohybu planety kolem Slunce neustále mění. Průvodič však vždy za stejnou dobu opíše plochu se stejným obsahem. To je důvodem, proč se tento zákon někdy nazývá zákon ploch.

Význam 2. Keplerova zákona

Planety se v přísluní pohybují nejrychleji, v odsluní zase nejpomaleji.

Ve výpočtech se používá plocha opsaná průvodičem za infinitezimálně (nekonečně) krátký čas, kdy se může zanedbat zakřivení trajektorie planety a celý výpočet se redukuje na vyjádření obsahu trojúhelníka. Druhý Keplerův zákon je jiné vyjádření zákona zachování momentu hybnosti. Plyne z něj (netriviálně), že oběžná rychlost planet se zmenšuje se vzrůstající vzdáleností od Slunce (těles od centrálního tělesa), to je však zřejmé ze zákona zachování energie.

Plošná rychlost

Sledujeme-li pohyb tělesa s polohovým vektorem $\mathbf {r}$ v gravitačním poli, pak za čas $\mathrm {d} t$ dojde ke změně průvodiče na $\mathbf {r} +\mathrm {d} \mathbf {r}$ , kde elementární přírůstek $\mathrm {d} \mathbf {r}$ spadá do směru dráhy. Obsah elementární plochy opsané tímto průvodičem lze vyjádřit ve tvaru

\mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} \times \mathrm {d} \mathbf {r} ).

Pro plošnou rychlost pak s pomocí tohoto vztahu získáme výraz

\mathbf {w} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {S} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}})={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).

Vektor plošné rychlosti $\mathbf {w}$ je kolmý k rovině, v níž leží trajektorie pohybu. Tento Keplerův zákon říká, že pro plošnou rychlost platí

\mathbf {w} ={\mbox{konst}}.

Ze znalosti vztahu pro moment hybnosti $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ , kde $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ je hybnost planety, lze psát

\mathbf {L} =2m\mathbf {w} .

Je-li tedy konstantní plošná rychlost, je konstantní také moment hybnosti. Obráceně lze říci, že ze zákona zachování momentu hybnosti vyplývá konstantní plošná rychlost pohybu planety v radiálním gravitačním poli (a tedy také druhý Keplerův zákon).

Plošné zrychlení

Derivací plošné rychlosti podle času dostaneme plošné zrychlení

\mathbf {q} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {w} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )

,

kde bylo využito toho, že ${\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {v} \right)=0$ .

Při planetárním pohybu je plošná rychlost stálá a plošné zrychlení tedy musí být nulové. To znamená, že $\mathbf {r} \times \mathbf {a} =0$ . Vektorový součin dvou vektorů je nulový, je-li jeden z nich nulový, nebo pokud leží v jedné přímce (tzn. mají shodný nebo přesně opačný směr). Avšak $\mathbf {r}$ ani $\mathbf {a}$ není nulové, neboť pohyb probíhá v určité vzdálenosti od středu (tedy $\mathbf {r} \neq 0$ ) a při každém křivočarém pohybu se vyskytuje nějaké zrychlení (tedy $\mathbf {a} \neq 0$ ). Znamená to tedy, že zrychlení $\mathbf {a}$ (tedy i odpovídající síla) leží ve směru průvodiče $\mathbf {r}$ .

Trajektorie dráhy má vždy takový tvar, že vzhledem k tečnému vektoru se vždy zakřivuje směrem k centru. To znamená, že zrychlení směřuje dovnitř uzavřené dráhy (elipsy). V opačném případě by se dráha zakřivovala ven od tečného vektoru a dráha by se neuzavřela. Důsledkem je, že vektor zrychlení směřuje vždy do centra silového působení. Takové silové působení se nazývá centrální. Také pohyb způsobený těmito silami se nazývá centrální pohyb.

3. Keplerův zákon

Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin délek jejich hlavních poloos (středních vzdáleností těchto planet od Slunce).

Pokud označíme $T_{1}$ a $T_{2}$ oběžné doby dvou planet a $a_{1}$ a $a_{2}$ délky jejich hlavních poloos, pak lze tento zákon vyjádřit ve tvaru

{\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}

$a_{2}=a_{1}{\sqrt[{3}]{\frac {T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}}}}$

Tento zákon platí v tomto tvaru jen tehdy, jsou-li hmotnosti planet zanedbatelně malé ve srovnání s hmotností Slunce, což je u planet sluneční soustavy splněno.

Význam 3. Keplerova zákona

Planety blízko Slunce jej oběhnou za kratší čas než planety vzdálené. Oběžná doba však roste se vzdáleností od Slunce rychleji než tato vzdálenost, takže průměrná úhlová rychlost planet klesá se vzdáleností od Slunce. Např. Saturn je od Slunce vzdálen přibližně 10x více než Země, ale jeho doba oběhu ("Saturnův rok") je již skoro 30x delší (viz tabulku níže).

Odvození

Předpokládejme, že soustava spojená se Sluncem je inerciální. Excentricity drah planet jsou malé, takže je můžeme považovat za přibližně kruhové. Bližší planety mají větší oběžnou rychlost, protože na ně Slunce působí větší silou. Oběžná rychlost jde vyjádřit z gravitační síly, která je zde silou dostředivou:

F_{\rm {g}}=F_{\rm {d}}\quad \Longrightarrow \quad G{\frac {m_{\rm {S}}\cdot m_{\rm {p}}}{r^{2}}}={\frac {m_{\rm {p}}\cdot v^{2}}{r}}\quad \Longrightarrow \quad v^{2}=G{\frac {m_{\rm {S}}}{r}}

.

Vidíme tedy, že čím je planeta blíže Slunci, tím rychleji kolem něho obíhá. Protože

v\cdot T=2\pi r

,

dostaneme dosazením

T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{Gm_{\rm {S}}}}\right)r^{3}

,

což je (obecnější) vyjádření 3. Keplerova zákona.

Tento vztah lze elementárně uhodnout i rozměrovou úvahou, až na bezrozměrnou konstantu $4\pi ^{2}$ , což však pro původní formulaci nevadí.

Tabulka 3. Keplerova zákona

Planeta	Čas oběhu	Střední vzdálenost od Slunce	Stř. vz. od Slunce podle 3. Keplerova zákona
Merkur	0,240 847 let	0,387 098-9 AU	0,387 104 AU
Venuše	0,615 198 let	0,723 332 AU	0,723 341 AU
Země	1 rok	1 AU	1 AU
Mars	1,880 834 let	1,523 662 AU	1,523 703 AU
Jupiter	11,869 807 let	5,203 363 AU	5,203 503 AU
Saturn	29,453 712 let	9,537 070 AU	9,537 327 AU
Uran	84,076 157 let	19,191 264 AU	19,191 779 AU
Neptun	164,794 790 let	30,058 963 AU	30,058 155 AU

Odvození Newtonova gravitačního zákona z Keplerových zákonů

Při planetárním pohybu je plošná rychlost stálá, jak plyne z druhého Keplerova zákona. Z konstantnosti plošné rychlosti vyplývá, že plošné zrychlení je nulové. Plošné zrychlení lze zapsat ve tvaru $\mathbf {q} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {w} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )$ . Má-li tato hodnota být nulová, musí být nulový vektorový součin $\mathbf {r} \times \mathbf {a}$ . Toho lze dosáhnout pouze tehdy, pokud je jeden z vektorů nulový, nebo pokud mají oba vektory stejný nebo opačný směr.

Poněvadž při křivočarém pohybu je zrychlení nenulové a polohový vektor je také nenulový, přichází do úvahy pouze druhá možnost, tzn. zrychlení i průvodič leží na jedné přímce. Znamená to tedy, že pole bodového zdroje je centrálním polem a tedy, že hledaná gravitační síla je funkcí vzdálenosti od tohoto centra, ale nezávisí např. na zeměpisné šířce.

Pro odvození velikosti radiálního zrychlení můžeme předpokládat, že těleso se kolem centra sil pohybuje po kružnici. Při rovnoměrném kruhovém pohybu, který pozorujeme v důsledku konstantnosti plošné rychlosti, se centrum nachází ve středu křivosti dráhy. Radiální zrychlení je tedy totožné s dostředivým zrychlením a má velikost

a={\frac {v^{2}}{r}}=r\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{T^{2}}}r

,

kde $T$ je oběžná doba.

Podle třetího Keplerova zákona platí $T^{2}=Cr^{3}$ , kde $C$ je konstanta. Zrychlení lze pak zapsat ve tvaru

a={\frac {4\pi ^{2}r}{Cr^{3}}}=k{\frac {1}{r^{2}}}

,

kde $k$ je konstanta platná pro všechny planety.

Síla, kterou působí Slunce na planetu, má velikost

F=ma=k{\frac {m}{r^{2}}}

,

kde $m$ je hmotnost planety. Planeta však zároveň podle třetího Newtonova zákona působí na Slunce stejně velkou silou $F^{\prime }=k^{\prime }{\frac {M}{r^{2}}}$ , kde $M$ je hmotnost Slunce. Z rovnosti $|F|=|F^{\prime }|$ dostaneme $km=k^{\prime }M$ . Položíme-li $G={\frac {k}{M}}={\frac {k^{\prime }}{m}}={\mbox{konst}}$ , dostáváme Newtonův gravitační zákon ve známém tvaru

F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Keplerovy zákony na Wikimedia Commons