Hermitovy polynomy

sekvence polynomů

Hermitovy polynomy jsou v matematice klasická posloupnost ortogonálních polynomů.

Hermitovy polynomy se objevují:

Hermitovy polynomy definoval (i když v sotva rozpoznatelném formě) Pierre-Simon Laplace v roce 1810;[1][2] detailně je zkoumal Pafnutij Lvovič Čebyšev v roce 1859.[3] Čebyševova práce však byla přehlížena a polynomy byly později pojmenovány po Charlesu Hermitovi, který je popsal jako nové v roce 1864.[4] Hermite tyto polynomy tedy neobjevil jako první, ale ve svém pozdějším díle z roku 1865 definoval vícerozměrné polynomy.

DefiniceEditovat

Hermitovy polynomy je možné definovat stejně jako jiné klasické ortogonální polynomy několika způsoby. Je třeba si uvědomit, že existují dvě různé definice, přičemž obvyklejší je tato:

  • „pravděpodobnostní Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
 
  • zatímco „fyzikální Hermitovy polynomy“ jsou dány vzorcem
 

Tyto rovnice mají tvar Rodriguesova vzorce a zapisují se také jako

 

tyto dvě definice ovšem nejsou přesně identické; liší se použitím jiného měřítka:

 

Tyto posloupnosti Hermitových polynomů se liší rozptylem; viz výklad o variancích níže.

Obvykle se pravděpodobnostní a fyzikální Hermitovy polynomy rozlišují značením He a H,[5] v teorii pravděpodobnosti se však často místo Hen používá Hn, protože

 

je hustota pravděpodobnosti pro normální rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 1.

 
Prvních šest pravděpodobnostních Hermitových polynomů Hen(x)
  • Prvních jedenáct pravděpodobnostních Hermitových polynomů:
 
 
Prvních šest (fyzikálních) Hermitových polynomů Hn(x)
  • Prvních jedenáct fyzikálních Hermitových polynomů:
 

VlastnostiEditovat

Hermitův polynom n-tého řádu je polynom stupně n. Pravděpodobnostní verze Hen má úvodní koeficient 1, zatímco fyzikální verze Hn má úvodní koeficient 2n.

SymetrieEditovat

Z Rodriguesova vzorce uvedeného výše je vidět, že Hn(x) a Hen(x) jsou sudé nebo liché funkce podle n:

 

OrtogonalitaEditovat

Hn(x) a Hen(x) jsou polynomy n-tého stupně pro n = 0, 1, 2, 3,.... Tyto polynomy jsou ortogonální vzhledem k váhové funkci (míře)

 

nebo

 

tj. máme

 

a navíc

 

nebo

 

kde   je Kroneckerovo delta.

Pravděpodobnostní polynomy jsou tedy ortogonální vzhledem ke standardní normální hustotě pravděpodobnosti.

ÚplnostEditovat

Hermitovy polynomy (jak pravděpodobnostní tak fyzikální) tvoří ortogonální bázi Hilbertova prostoru funkcí, které splňují

 

ve kterém je vnitřní součin definován integrálem

 

kde w(x) je gaussovská váhová funkce definovaná v předchozí části.

Ortogonální báze pro L2(R, w(x) dx) tvoří úplný ortogonální systém. Pro ortogonální systém je úplnost ekvivalentní se skutečností, že nulová funkce je jedinou funkcí fL2(R, w(x) dx), která je ortogonální se všemi funkcemi v systému.

Protože lineárním obalem Hermitových polynomů je prostor všech polynomů, pro důkaz úplnosti (pro fyzikální polynomy) stačí dokázat, že pokud f splňuje

 

pro každé n ≥ 0, pak f = 0.

Jedním ze způsobů, jak to udělat, je uvědomit si, že celá funkce

 

bude mít nulovou hodnotu identicky. Skutečnost, že pak bude F(it) = 0 pro každé reálné t znamená, že Fourierova transformace f(x)ex2 je 0, a tedy že f je 0 skoro všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí i pro jiné váhy s exponenciálním poklesem.

V Hermitově případě je možné dokázat i explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část na Relace úplnosti níže).

Ekvivalentně lze fakt, že Hermitovy polynomy jsou ortogonální bází pro L2(R, w(x) dx), formulovat zavedením Hermitových funkcí (viz níže) a ukázáním, že jsou ortonormální bází pro L2(R).

Hermitova diferenciální rovniceEditovat

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice

 

kde λ je konstanta. Zavedením okrajové podmínky, že funkce u musí být v nekonečnu polynomiálně omezená, má rovnice řešení, pouze pokud λ je nezáporné celé číslo, a pak je řešení jednoznačně dáno  , kde   je konstanta.

Přepsáním diferenciální rovnice jako problém vlastních hodnot

 

Hermitovy polynomy   je možné chápat jako vlastní funkce diferenciálního operátoru   . Tento problém vlastní hodnoty se nazývá Hermitova rovnice, i když tento termín se také používá pro blízce příbuzné rovnice

 

jejichž řešení lze, po stanovení okrajové podmínky, že u musí být polynomiálně omezená v nekonečnu, jednoznačně vyjádřit pomocí fyzikálních Hermitových polynomů ve tvaru  , kde   je konstanta.

Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu je vlastně lineární kombinací obou Hermitových polynomů a konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Například pro fyzikální Hermitovu rovnici

 

má obecné řešení tvar

 

kde   a   jsou konstanty,   jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a   jsou fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Tyto funkce lze kompaktně reprezentovat jako   kde   jsou konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Obvyklé Hermitovy polynomy lze také vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí, viz níže.

S obecnějšími okrajovými podmínkami je možné zobecnit Hermitovy polynomy pro získání obecnějších analytických funkcí pro komplexní λ. Explicitní vzorec Hermitových polynomů pomocí křivkových integrálů [6] je také možné.

Rekurentní vzorecEditovat

Posloupnost pravděpodobnostních Hermitových polynomů také vyhovuje diferenční rovnici

 

Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:

 

a a0,0= 1, a1,0= 0, a1,1= 1.

Pro fyzikální polynomy, předpokládá

 

máme

 

Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:

 

a a0,0= 1, a1,0= 0, a1,1= 2.

Hermitovy polynomy tvoří Appellovu posloupnost, tj. jsou posloupností polynomů, která vyhovuje rovnici

 

Ekvivalentně, podle Taylorova rozvoje,

 

Tyto identity stínového počtu jsou evidentní a obsažené v reprezentaci diferenciálním operátorem rozebrané níže

 

V důsledku pro m-tou derivaci platí:

 

Odtud plyne, že Hermitovy polynomy také vyhovují diferenční rovnici

 

Tyto poslední vzorce se spolu s počátečními polynomy H0(x) a H1(x) používají v praxi pro rychlé vyčíslení hodnoty polynomů.

Platí Turánovy nerovnosti:

 

a následující multiplikační věta:

 

Explicitní vyjádřeníEditovat

Fyzikální Hermitovy polynomy je možné psát explicitně jako

 

Tyto dvě rovnice je možné zkombinovat do jedné pomocí funkce celá část:

 

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy He mají podobné vzorce, které je možné získat z těchto nahrazením mocniny 2x odpovídající mocninou 2x a znásobením celého součtu výrazem 2n2:

 

Inverzní explicitní výrazEditovat

Inverzí výše uvedených explicitních výrazů, tj. výrazů pro jednočleny v členech pravděpodobnostních Hermitových polynomů He jsou

 

Odpovídající výrazy pro fyzikální Hermitovy polynomy H zjistíme přímo správnou změnou měřítka takto:[7]

 

Vytvořující funkceEditovat

Hermitovy polynomy lze zadat vytvořující funkcí

 

Tato rovnost je platná pro všechny komplexní hodnoty x a t a je možné ji získat zapsáním Taylorova rozvoje v x celé funkce zez2 (ve fyzikálním případě). Můžeme také odvodit (fyzikální) vytvořující funkce pomocí Cauchyův vzorec zapsat Hermitovy polynomy jako

 

Dosazením do součtu

 

je možné vyhodnotit zbývající integrál pomocí reziduového počtu a tak získat požadovanou vytvořující funkci.

Střední hodnotyEditovat

Pokud X je náhodná veličina s normálním rozdělením se standardní odchylkou 1 a střední hodnotou μ, pak

 

Momenty standardního normálního rozdělení (se střední hodnotou nula) je možné číst přímo z relace pro sudé indexy:

 

kde (2n − 1)!! je dvojitý faktoriál. Pamatujte, že výše uvedený výraz je speciálním případem reprezentace pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:

 

Asymptotický rozvojEditovat

Asymptoticky pro n → ∞, lze použít rozvoj[8]

 

Pro určité případy zabývající se širším rozsahem vyhodnocování je nutné zahrnout faktor pro změnu amplitudy:

 

což lze, pomocí Stirlingova vzorce dále zjednodušit; v limitě na

 

Toto rozvoj je potřebný pro řešení vlnové funkce kvantového harmonického oscilátoru tak, že souhlasí s klasickou aproximací v limitě principu korespondence.

Lepší aproximaci, která odpovídá za variaci ve frekvenci, popisuje vztah

 

Jemnější aproximace,[9] která bere v úvahu nestejný odstup kořenů blízko hrany, používá substituci

 

se kterou máme rovnoměrnou aproximaci

 

Podobná aproximace platí pro monotonní a přechod oblasti. Konkrétně pokud

 

pak

 

zatímco pro

 

s t komplerxním a omezeným je aproximace

 

kde Ai je Airyho funkce prvního druhu.

Speciální hodnotyEditovat

Fyzikální Hermitovy polynomy vyčíslené v bodě nula Hn(0) se nazývají Hermitova čísla.

 

což vyhovuje rekurentnímu vzorci Hn(0) = −2(n − 1)Hn − 2(0).

V členech pravděpodobnostních polynomů se převádí na

 

Vztahy k jiným funkcímEditovat

Laguerrovy polynomyEditovat

Hermitovy polynomy lze vyjádřit jako speciální případ Laguerrových polynomů:

 

Vztah k konfluentním hypergeometrickým funkcímEditovat

Fyzikální Hermitovy polynomy je možné vyjádřit jako speciální případ parabolických válcových funkcí:

 

v pravé polorovině, kde U(a, b, z) je Tricomiho konfluentní hypergeometrické funkce. Podobně

 

kde 1F1(a, b; z) = M(a, b; z) je Kummerova konfluentní hypergeometrické funkce.

Reprezentace diferenciálním operátoremEditovat

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy vyhovují vztahu

 

kde D reprezentuje derivaci podle x a exponenciální funkce je interpretována svým rozvojem na mocninnou řadu. O konvergenci této řady aplikované na polynomy není pochyb, protože všechny členy až na konečný počet zanikají.

Protože koeficienty mocninné řady exponenciální funkce jsou známé a derivace vyššího řádu jednočlenu xn je možné zapsat explicitně, tato reprezentace diferenciálním operátorem dává konkrétní vzorec pro koeficienty Hn, který lze použít pro rychlý výpočet těchto polynomů.

Protože formální výraz pro Weierstrassovu transformaci W je eD2, vidíme, že Weierstrassova transformace (2)nHen(x2) je xn. Weierstrassova transformace tedy v zásadě převádí řadu Hermitových polynomů na odpovídající Taylorovu řadu.

Existence nějaké formální mocninné řady g(D) s nenulovým konstantním koeficientem, takové, že Hen(x) = g(D)xn, je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří Appellovu posloupnost. Protože jsou Appellovou posloupností, jsou také Shefferovou posloupností.

Podrobnější informace naleznete v článku Weierstrassova transformace#Inverze.

Reprezentace křivkovým integrálemEditovat

Z reprezentace generující funkce uvedené výše, vidíme, že Hermitovy polynomy lze reprezentovat pomocí křivkový integrál, protože

 

s křivkou obkružující počátek souřadnicového systému.

ZobecněníEditovat

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy definované výše jsou ortogonální vůči standardnímu normálnímu rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je

 

a které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1.

Při změně měřítka je možné obdobně mluvit o zobecněných Hermitových polynomech[10]

 

s rozptylem α, kde α je jakékoli kladné číslo. Tyto jsou pak ortogonální vzhledem k normální rozdělení pravděpodobnosti, jejíž hustota je

 

Jsou daný

 

Nyní, pokud

 

pak posloupnost polynomů, jejíž n-tý člen je

 

se nazývá stínová kompozice dvou posloupností polynomů. Lze dokázat, že vyhovuje identitám

 

a

 

Poslední vztah lze vyjádřit tím, že řekneme, že tato parametrizovaná rodina posloupností polynomů je známá jako křížová posloupnost. (Viz výše uvedená část o Appellových posloupnostech a o reprezentaci diferenciálním operátorem, která vede k její připravené derivaci. Tento vztah identity binomického typu pro α = β =12 jsme již zaznamenali ve výše uvedené části o rekurentních vzorcích.)

„Záporný rozptyl“Editovat

Protože posloupnosti polynomů tvoří grupu s operací stínové kompozice, je možné pomocí

 

zapsat posloupnost, která je inverzní k podobně označené posloupnosti, ale bez znaménka minus, proto mluvíme o Hermitových polynomech se záporným rozptylem. Pro α > 0 jsou koeficienty   pouze absolutními hodnotami odpovídajících koeficientů  .

Tyto koeficienty se objevují jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: n-tý moment normálního rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem σ2 je

 

kde X je náhodná proměnná s uvedeným normálním rozdělením. Speciální případ křížové posloupnosti identit pak říká, že

 

AplikaceEditovat

Hermitovy funkceEditovat

Z fyzikálních polynomů je možnédefinovat Hermitovy funkce (často nazývané Hermitovy-gaussovy funkce):

 

tedy

 

Protože tyto funkce obsahují druhou odmocninu váhové funkce a jejich měřítko bylo vhodným způsobem upravené, jsou ortonormální:

 

a tvoří ortonormální bázi prostoru L2(R). Tato skutečnost je ekvivalentní se stejným tvrzením pro Hermitovy polynomy (viz výše).

Hermitovy funkce úzce souvisí s Whittakerovou funkcí [11] Dn(z):

 

a díky tomu i s dalšími parabolickými válcovými funkcemi.

Hermitovy funkce vyhovují diferenciální rovnici

 

Tato rovnice je ekvivalentní se Schrödingerovou rovnicí pro harmonický oscilátor v kvantové mechanice, a tyto funkce jsou tedy vlastní funkce.

 
Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 1 (čárkovaná oranžová), 2 (čerchovaná zelená), 3 (tečkovaná červená), 4 (plná fialová), a 5 (čárkovaná hnědá)
 
 
Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 2 (čárkovaná oranžová), 4 (čerchovaná zelená) 50 (plná červená)

Rekurentní vzorecEditovat

Podle rekurentního vzorce pro Hermitovy polynomy platí pro Hermitovy funkce

 

a

 

Rozvoj prvního vzorce pro libovolnou m-tou derivaci pro jakékoli kladné celé číslo m vede k

 

Tento vzorec může být používán ve spojení s rekurentními vzorci pro Hen a ψn pro efektivní výpočet jakékoli derivace Hermitovy funkce.

Cramérova nerovnostEditovat

Pro reálné x vyhovují Hermitovy funkce následujícímu omezení, které dokázal Harald Cramér[12][13] a Jack Indritz:[14]

 

Hermitovy funkce jako vlastní funkce Fourierovy transformaceEditovat

Hermitovy funkce ψn(x) jsou sadou vlastních funkcí Fourierovy transformace  . Pro ověření použijeme fyzikální verzi vytvořující funkce a znásobíme ji e12x2. Tím dostaneme

 

Fourierovu transformaci levé strany popisuje vzorec

 

Fourierovu transformaci pravé strany pak vzorec

 

Srovnáním stejných mocnin t v transformované verzi levé a pravé strany dostáváme

 

Hermitovy funkce ψn(x) jsou tedy ortonormální bází prostoru L2(R), která diagonalizuje Fourierův transformační operátor.[15]

Wignerova distribuce Hermitovy funkceEditovat

Wignerova distribuční funkce n-tého řádu Hermitovy funkce souvisí s Laguerrovými polynomy n-tého řádu. Laguerrovy polynomy jsou

 

které vedou k oscilátorovým Laguerrovým funkcím

 

Pro všechna přirozená čísla n je zřejmé,[16] že

 

kde Wignerova funkce rozdělení xL2(R, C) je definována jako

 

To je základní výsledek pro kvantový harmonický oscilátor, který v roce 1946 objevil Hilbrand J. Groenewold a publikoval ve své disertační práci.[17] Jedná se o standardní paradigma kvantové mechaniky ve fázovém prostoru.

Mezi těmito dvěma rodinami polynomů existují další vztahy.

Kombinatorická interpretace koeficientůEditovat

V Hermitově polynomu Hen(x) s rozptylem 1 je absolutní hodnota koeficientu xk rovna počtu (neuspořádaných) dělení n-prvkové množiny na k singletonů a (nk)/2 (neuspořádaných) dvojic. Ekvivalentně je to počet involucí n-prvkové množiny s právě k pevnými body, což je počet párování v úplném grafu s n vrcholy, které ponechávají k vrcholů nepokrytých (skutečně, Hermitovy polynomy jsou polynomy párování těchto grafů). Součet absolutních hodnot koeficientů dává celkový počet dělení na singletony a dvojice, tak zvaná telefonní čísla

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... Posloupnost A000085 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Tato kombinatorická interpretace je příbuzná s kompletními exponenciálními Bellovými polynomy jako

 

kde xi= 0 pro všechna i > 2.

Tato čísla je možné také vyjádřit jako speciální hodnotu Hermitových polynomů:[18]

 

Relace úplnostiEditovat

Christoffelův–Darbouxův vzorec pro Hermitovy polynomy má tvar

 

Navíc pro výše uvedené Hermitovy funkce platí následující identita úplnosti ve smyslu distribucí:

 

kde δ je Diracovo delta, ψn jsou Hermitovy funkce a δ(xy) reprezentuje Lebesgueovu míru na přímce y = x v R2 normalizovanou tak, že její projekce na horizontální osu je obvyklá Lebesgueova míra.

Použitím limity u → 1 v Mehlerově vzorci, který platí pro −1 < u < 1, z této distribuční identity podle [19] plyne

 

což bývá často uváděno ekvivalentně jako separabilní jádro,[20][21]

 

Funkce (x, y) → E(x, y; u) je gaussovská hustota pravděpodobnosti funkce dvou proměnných na R2, která je při přiblížení u k 1, velmi zahuštěná kolem přímky y = x a velmi roztažená dále od této přímky. Odtud plyne, že

 

pokud jsou funkce f a g spojité a mají kompaktní support.

Odtud je možné vyjádřit f v Hermitově funkci jako sumu řady vektorů v L2(R), jmenovitě,

 

Pro důkaz této rovnosti pro E(x,y;u) použijeme opakovaně Fourierovu transformaci Gaussových funkcí:

 

Hermitův polynom je pak reprezentován jako

 

Z této reprezentace Hn(x) a Hn(y) je zřejmé, že

 

což, opět pomocí Fourierovy transformace gaussovských jader při substituci, dává požadovanou identitu

 

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Laplace 1810 (online).
  2. LAPLACE, P.-S. Théorie analytique des probabilités. [s.l.]: [s.n.], 1812. S. 194–203.  vydané v Œuvres complètes VII.
  3. CHEBYSHEV, P. L. Sur le développement des fonctions à une seule variable. Bull. Acad. Sci. St. Petersb.. 1859, roč. 1, s. 193–200.  vydané v Œuvres I, 501–508.
  4. HERMITE, C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. C. R. Acad. Sci. Paris. 1864, roč. 58, s. 93–100.  vydané v Œuvres II, 293–303.
  5. Koornwinder et al. 2010 a Abramowitz & Stegun.
  6. Courant a Hilbert 1989.
  7. 18. Orthogonal Polynomials, Classical Orthogonal Polynomials, Sums [online]. National Institute of Standards and Technology [cit. 2015-01-30]. Dostupné online. 
  8. Abramowitz & Stegun 1983, 13.6.38 a 13.5.16.
  9. Szegő 1955, s. 201.
  10. ROMAN, Steven. The Umbral Calculus. 1. vyd. [s.l.]: Academic Press, 1984. (Pure and Applied Mathematics). ISBN 978-0-12-594380-2. S. 87–93. 
  11. Whittaker a Watson 1996.
  12. Erdélyi et al. 1955.
  13. Szegő 1955.
  14. INDRITZ, Jack, 1961. An inequality for Hermite polynomials. Proceedings of the American Mathematical Society. Roč. 12, čís. 6, s. 981–983. DOI 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2. 
  15. V tomto případě byla použita unitární verze Fourierovy transformace, takže vlastní čísla jsou (−i)n. Další pak slouží k definici mocnin (včetně racionálních) Fourierovy transformace pro nápadité získání zobecnění zlomkové Fourierovy transformace, resp. Mehlerova jádra.
  16. FOLLAND, G. B. Harmonic Analysis in Phase Space. [s.l.]: Princeton University Press, 1989. (Annals of Mathematics Studies). ISBN 978-0-691-08528-9. 
  17. GROENEWOLD, H. J., 1946. On the Principles of elementary quantum mechanics. Physica. Roč. 12, čís. 7, s. 405–460. DOI 10.1016/S0031-8914(46)80059-4. Bibcode 1946Phy....12..405G. 
  18. BANDERIER, Cyril; BOUSQUET-MÉLOU, Mireille; DENISE, Alain; FLAJOLET, Philippe; GARDY, Danièle; GOUYOU-BEAUCHAMPS, Dominique, 2002. Generating functions for generating trees. Discrete Mathematics. Roč. 246, čís. 1–3, s. 29–55. DOI 10.1016/S0012-365X(01)00250-3. arXiv math/0411250. 
  19. Wiener 1958.
  20. MEHLER, F. G., 1866. Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. Čís. 66, s. 161–176. Dostupné online. ISSN 0075-4102. ERAM 066.1720cj. (německy) . Viz p. 174, eq. (18) a p. 173, eq. (13).
  21. Erdélyi et al. 1955, 10.13 (22).

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hermite polynomials na anglické Wikipedii.

LiteraturaEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat