Fibrovaný prostor

topologický prostor lokálně difeomorfní kartézskému součinu dvou množin

Pod pojmem fibrovaný prostor se v matematice, zejména pak v topologii, rozumí objekt, jenž je v jistém smyslu zobecněním pojmu kartézského součinu množin. Jedná se o prostor, který lze lokálně popsat jako kartézský součin, globálně však může mít netriviální topologickou strukturu. Známými příklady jednoduchých netriviálních fibrovaných prostorů jsou například Möbiova páska či Kleinova láhev. Aplikace tento topologický pojem nachází v různých odvětvích fyziky, kde lze s jeho pomocí např. konzistentně popisovat polohy a hybnosti fyzikálních systémů v klasické mechanice, pole v kvantové teorii pole či vlastnosti časoprostoru v obecné teorii relativity. Kalibrační teorie pak nacházejí v teorii fibrovaných prostorů solidní matematický základ.

DefiniceEditovat

Zde si představíme definici fibrovaného prostoru, jež může působit dost abstraktním a těžko stravitelným dojmem. V následujícím oddíle je proto tento pojem vyložen v povědomějších termínech pro snazší pochopení. Navíc, v následující definici požadujeme, aby jednotlivé množiny byly diferencovatelné variety. Tento požadavek však není nutný a místo diferencovatelných variet lze brát obecněji topologické prostory, kde současně místo hladkosti zobrazení vystupujících v definici požadujeme pouze jejich spojitost. Fibrované prostory, kde za množiny bereme diferencovatelné variety, se pak v tomto kontextu označují jako diferencovatelné fibrované prostory.

Fibrovaný prostorEditovat

Fibrovaný prostor (angl. fibre bundle) je definován jako uspořádaná čtveřice   následujících objektů:

  1.   je diferencovatelná varieta zvaná totální prostor,
  2.   je diferencovatelná varieta zvaná bázová varieta či báze,
  3.   je diferencovatelná varieta zvaná typické vlákno, nebo jen vlákno,
  4.   je surjektivní zobrazení totálního prostoru na bázovou varietu, který se nazývá projekce.
  5. Spolu s předchozími objekty je nutno zadat i otevřené pokrytí   bázové variety   a jemu odpovídající množinu zobrazení  , kde index   probíhá (ne nutně konečnou či spočetnou) indexovou množinu  . Platí tedy  , kde   jsou otevřené množiny. Dále, pro každé   je zobrazení   difeomorfizmus splňující dodatečnou podmínku
 ,
kde symbolem   značíme vzor množiny   při zobrazení  . Zobrazení   se nazývají lokální trivializace. (Někdy se za lokální trivializace berou zobrazení  , která v podstatě odpovídají inverzím pro námi zavedené trivializace  . Neboť jsou lokální trivializace bijekce, tak vztah zobrazení a jeho inverze je jednoznačný a oba přístupy jsou tak ekvivalentní.)

Fibrovaný prostor   se často značí jen jako   nebo výrazem

 .

Přísně vzato, definice fibrovaného prostoru by měla být nezávislá na konkrétní volbě otevřeného pokrytí  . Matematicky korektně se tedy postupuje tak, že se nejdříve definicí výše zavádějí souřadnicové fibrované prostory [pozn. 1] . Na množině všech takovýchto souřadnicových fibrovaných prostorů s různými pokrytími se zadefinuje relace ekvivalence tak, že   je ekvivalentní s   právě tehdy, když   je opět souřadnicovým fibrovaným prostorem. Množinu všech souřadnicových fibrovaných prostorů si tedy můžeme faktorizovat podle této ekvivalence a fibrovaný prostor samotný je pak definován jako třída ekvivalence v tomto faktorprostoru. [1]

Přechodová zobrazeníEditovat

Okolí   pokrývají bázovou varietu  . Ke každému   je přitom přiřazena lokální trivializace  . Na průniku dvou okolí   tak máme bod   totálního prostoru vyjádřen pomocí dvou různých trivializací

 

kde   je takové, že platí  . Skutečnost, že v obou případech máme stejné   pro obě trivializace vyplývá z požadavku kladeného na tato zobrazení v definici fibrovaného prostoru. Co je obecně různé jsou však prvky  . Můžeme si tak zavést zobrazení   předpisem

 .

Takto zavedeným zobrazením se říká přechodové funkce. Konvence pro jejich značení se liší u různých autorů. Místo označení   se tak lze setkat i s opačným pořadím indexů   apod. Přechodové funkce se mají k lokálním trivializacím způsobem

 .

Pokud  , je odpovídající přechodová funkce   zjevně rovna identitě. Dále, pokud platí  , tak zřejmě i  , z čehož vyplývá  . Pokud bychom neuvažovali pouze body z průniku dvou okolí  , ale rovnou ze tří okolí  , tak bychom podobnými úvahami dospěli i ke vztahu

 .

Ukázali jsme tak, že v množině všech přechodových zobrazení   se nachází jednotkový prvek (identické zobrazení), každý prvek má k sobě inverzní prvek a že tato množina je uzavřená vůči operaci skládání prvků coby zobrazení. Skládání zobrazení je asociativní a tyto všechny vlastnosti nám tedy říkají, že množina všech přechodových zobrazení (spolu s operací skládání zobrazení) tvoří grupu. Této grupě se říká strukturní grupa. V našem postupu jsme měli zadány lokální trivializace a z nich jsme sestrojili přechodové funkce. Lze se však vydat i opačným směrem, kdy máme předem zadané přechodové funkce a z nich jsme schopni zrekonstruovat lokální trivializace, viz oddíl Rekonstrukce fibrovaného prostoru ze znalosti přechodových zobrazení níže. Strukturní grupa se tedy někdy vyskytuje v samotné definici fibrovaného prostoru.

Související pojmyEditovat

  • Vzor jednobodové množiny   při zobrazení  , tj.   pro daný bod   bázové variety, nazýváme vlákno nad bodem m. Množina   je diferencovatelná varieta izomorfní typickému vláknu  .
  • Jako řez, resp. řez fibrovaného prostoru, označujeme hladké zobrazení   vyhovující podmínce  , kde   označuje identitu na bázové varietě. Právě uvedenou podmínku lze přepsat do tvaru
 .

Množina všech řezů na prostoru   se často značí symbolem  . Podobně, jako lokální řez (na okolí  ) označíme hladké zobrazení   vyhovující podmínce  , kde   je otevřená podmnožina bázové variety. Důvod, proč se řezy nazývají právě „řezy“, je ten, že zobrazení   vybere pro daný bod   bázové variety jen jeden bod   z vlákna nad bodem  . Pro libovolné další   se už nemůže stát, že by   spadlo do téhož vlákna. Situace je lépe nahlédnutelná na animovaném Obr. 2 níže. V tomto případě je řezem hladké zobrazení  , které bere body kružnice a vrací body v Möbiově pásce. Na obrázku je v Möbiově pásce vyznačen větší počet typických vláken, v tomto případě představovaných úsečkami. Celá úsečka přitom odpovídá jedinému bodu kružnice. Řez   bere po řadě body kružnice a každému takovému bodu přiřazuje jen jeden bod na odpovídající úsečce.

  • Zobrazením fibrovaných prostorů   a   nazýváme dvojici zobrazení   a   splňující podmínku
 .
  • Mějme fibrovaný prostor  . Pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení fibrovaných prostorů   a  , (kde  ) tak říkáme, že fibrovaný prostor   je triviální. Tehdy je   v podstatě pouze kartézským součinem  .
  • Dva fibrované prostory   a   jsou ekvivalentní, existuje-li zobrazení fibrovaných prostorů   tak, že   je identické zobrazení a   je difeomorfizmus.

Grafická interpretaceEditovat

Kartézský součinEditovat

Jak již bylo řečeno, fibrovaný prostor má do jisté míry zobecňovat pojem kartézského součinu. Popravdě řečeno, kartézský součin dvou diferencovatelných variet   lze chápat jako jednoduchý fibrovaný prostor  , kde   je nyní totální prostor,   je bázová varieta a   je typické vlákno. Projekci   si v tomto případě můžeme definovat způsobem  , pro libovolné  ,  . Pokud si dále vezmeme nějaké otevřené pokrytí   variety  , tak ke každému okolí   můžeme definovat lokální trivializaci  , která ze dvou bodů vytvoří jejich uspořádanou dvojici. Máme tak všechny suroviny vystupující v definici fibrovaného prostoru a můžeme uzavřít, že kartézský součin je skutečně triviálním případem fibrovaného prostoru.

Nezůstaňme ovšem jen u triviálních případů. Každý fibrovaný prostor, resp. jeho totální prostor, totiž jako kartézský součin vypadá alespoň lokálně. Zhruba řečeno je ke každému bodu bázové variety   přilepena jiná varieta, vlákno  . Ostatně samotné lokální trivializace  , jak již jejich název dává tušit, slouží k lokálnímu převodu totálního prostoru na kartézský součin dvou množin. Pro každé okolí   lze množinu   (která je podmnožinou totálního prostoru  ) zobrazit díky   difeomorfně na kartézský součin okolí a vlákna, tj.

 .

Möbiova páskaEditovat

Jedním z nejjednodušších příkladů fibrovaných prostorů, které nelze vyjádřit jako kartézský součin, je Möbiova páska, na níž lze pěkně ilustrovat role jednotlivých objektů vystupujících v definici fibrovaného prostoru. Celá situace je znázorněna na obr. 1 níže. Na tomto obrázku vidíme následující:

  1. červenou barvou je vyobrazen totální prostor E, tedy v tomto případě Möbiova páska,
  2. zelenou barvou je vykreslena bázová varieta M, která je v našem případě obyčejnou kružnicí,
  3. modrou barvou je zachyceno typické vlákno F; v našem případě se jedná o úsečku.

Na bázové varietě, kružnici, jsou dále pro názornost vybrány tři různé body  . Vzory těchto bodů při projekci   jsou po řadě vlákna  . Vlákno nad bodem   je tedy označeno   a podobně pro ostatní body. Vidíme tak, že jednomu bodu kružnice odpovídá celá úsečka bodů na Möbiově pásce. Každá z těchto úseček je v podstatě rovna typickému vláknu  . Jednotlivé body na dané úsečce lze pak rozlišit pomocí bodů z typického vlákna, kterážto situace je znázorněna pro případ bodu  . Jeho projekce na bázovou varietu je   a v rámci vlákna   je   jednoznačně identifikován bodem  . Nějakému jinému prvku   ze stejného vlákna   by odpovídal jiný bod  , ačkoli jeho projekce   by byla stále rovna  , tj.  .

Báze, vlákno a projekceEditovat

Způsob, jakým se došlo od Möbiově pásce ke kružnici, coby bázové varietě, s úsečkou, coby vláknem, je naznačen v animaci na Obr. 2 a podrobněji matematicky rozebrán v následujícím. Möbiova páska je dvourozměrná varieta, kterou můžeme vložit do trojrozměrného prostoru   a na jejíž body se pak díky tomu můžeme odkazovat pomocí jejich souřadnic  . Parametrické rovnice Möbiovy křivky o jednotkovém poloměru a jednotkové šířce v těchto souřadnicích potom znějí

 

kde   a  . Od teď nebudeme rozlišovat mezi Möbiovou páskou a jejím vložením do  . Pod bodem Möbiovy pásky tak budeme rozumět trojici čísel   vyhovující parametrickým rovnicím výše.

Položíme-li   pevně, tak okamžitě vidíme, že křivka   je jednotková kružnice ležící ve vodorovné rovině, neboť platí

 .

Za bázovou varietu si tedy skutečně můžeme vzít jednotkovou kružnici, která je parametrizovaná proměnnou  . Máme-li na kružnici   zvolen pevně jistý počáteční bod, tak mu můžeme přiřadit hodnotu  . Pokud zvětšujeme parametr   postupně od nuly do  , tak projdeme všechny body kružnice. Každému bodu   kružnice je tak jednoznačně přiřazeno jisté číslo  . Tento vztah budeme v tomto oddíle vyjadřovat zápisem  . Kružnice je jednorozměrná křivka a pokud ji vnoříme do trojrozměrného prostoru  , tak jí můžeme ztotožnit s množinou  . V takovém případě má počáteční bod kružnice souřadnice   a souřadnice   bodu   mají tvar

 .

Jestliže si nyní ukotvíme parametr   a položíme ho rovno číslu  , tak lze parametrické rovnice Möbiovy křivky přepsat do tvaru

 

což je parametrické vyjádření úsečky ve trojrozměrném prostoru (parametr   probíhá omezený interval od −1/2 do 1/2). Proměnná   tedy parametrizuje vlákno; udává „vzdálenost“ bodu úsečky od jejího středu. Zaveďme pro prvky vlákna podobné značení, jaké jsme přijali pro prvky bázové variety. Konkrétně bod   ve „vzdálenosti“   od středu úsečky vyjadřujme vztahem  .

Uvažujme nyní nějaký konkrétní bod Möbiovy pásky, např. bod   na Obr. 1. Nechť jeho souřadnice znějí   pro nějaké   a  . Za projekci tohoto bodu na bázovou varietu položíme bod na kružnici, jehož vzdálenost od počátečního bodu kružnice je rovna  . Pokud si za počáteční bod kružnice zvolíme bod   na Obr. 1, pro nějž platí  , tak projekcí bodu   je bod  . V návaznosti na tento postup si tak zavedeme projekci   vztahem

 .

Projekce nám tak smaže veškerou informaci o vlákně skrytou v proměnné  .

Lokální trivializaceEditovat

Zbývá nám určit lokální trivializace, jež sestávají z okolí pokrývajících bázovou varietu a k nim přiřazených zobrazení splňujících dodatečné podmínky. Za pokrytí kružnice bychom si mohli zvolit dvojici okolí

 .

Pokud bychom uvažovali bázovou varietu   coby kružnici vloženou do  , tak by šlo vyjádřit tato okolí ve tvaru

 .

Meze intervalů jsme zvolili více méně libovolně, důležité je, aby tyto intervaly byly otevřené a jejich sjednocení bylo nadmnožinou intervalu  . Okolí bychom si mohli zvolit i více, rozhodně ne však méně. Později si ukážeme, že jediné okolí pokrývající kružnici M nelze pro zavedení lokálních trivializací použít. Pro aktuální volbu okolí nyní stačí za lokální trivializace vzít zobrazení  ,  , jejichž předpis v parametrizaci pomocí proměnných   zní

 .
 .

Parametrické rovnice Möbiovy pásky jsou tedy v podstatě lokálními trivializacemi. Zobrazení   vezme jednak bod kružnice   parametrizovaný hodnotou  , jednak bod typického vlákna   parametrizovaný hodnotou  , a této dvojici prvků přiřadí bod Möbiovy pásky, jehož souřadnice   se získají z parametrických rovnic. Trivializace   se chová podobně, akorát její definiční obor je omezen na hodnoty   a  . Pro názornost jsou pokrývající okolí i působení lokálních trivializací vykreslena na Obr. 3.

Zodpovězme nyní otázku, proč jsme uvážili dvě okolí   namísto jednoho  , které by pokrylo celou kružnici a které by mělo tvar

 .

Množina   je zjevně pokrývající a otevřená (celá množina vždy patří do své topologie a splňuje tak podmínku otevřenosti). Co nám tedy brání ji použít? Potíž je v tom, že odpovídající lokální trivializace   by nebyla na celém svém definičním oboru hladké zobrazení. Abychom toto nahlédli mějme analogicky předchozímu případu

 .

Při obejití kružnice se dostaneme zpět na počátek a musí tedy platit, že hodnoty lokální trivializace pro   a   se při ukotveném   rovnají. Hodnota   přísně vzato neleží v definičním oboru a tato podmínka proto zní

 .

Položíme-li  , tak se levá strana redukuje do tvaru  , zatímco pravá strana přechází na tvar  . Rovnost tedy viditelně nenastává a s jediným pokrývajícím okolím Möbiovy pásky si tak nevystačíme. Graficky lze nespojitost zobrazení   vidět na animaci v Obr. 2, kde šipka „generující“ pásku na počátku směřuje ven, při oběhnutí kružnice však směřuje dovnitř pomyslného kruhu.

Naše volba dvou okolí s danými trivializacemi problém nespojitosti zobrazení obchází. Zatímco u jednoho okolí   mělo toto topologii kruhu a daná trivializace musela být „spojitá v počátečním bodě“, tak pokud použijeme okolí dvě, tak každé z nich má topologii úsečky (bez koncových bodů) a o žádnou spojitost v „počátečním bodě“ se nemusíme starat.

Přechodové funkceEditovat

Okolí   a   se překrývají v oblastech   a  . Označme si první interval písmenem   a druhý interval podobně písmenem  . Pro úplnost si odvodíme tvar přechodových funkcí   a  . Vzhledem k tomu, že jedna je inverzí druhé, stačí spočíst  . Zde je nutno pro každý z obou intervalů A a B hledat tvar přechodové funkce zvlášť. Pro všechny body  , kde  , a pro všechny prvky vlákna  ,  , platí

 .

Přechodová funkce   je tedy identickým zobrazením. Explicitně,

 .

Podobně postupujeme i pro interval B, zde však musíme být více na pozoru. Proměnná  , parametrizující kružnici, nabývá hodnot mezi nulou a  . V intervalu B se však nacházejí čísla mimo tyto meze. Protože hodnotě   by měl odpovídat stejný bod kružnice jako hodnotě  , vyjádřeme si proměnnou   explicitně ve tvaru  , kde už  . Při tomto vyjádření přecházejí goniometrické funkce do tvarů

 ,
 .

Vyjádření lokální trivializace   tak přejde do tvaru

 

kde nyní parametr   nenabývá hodnot z intervalu B, ale z intervalu  . Vidíme, že znaménko minus, objevivší se z úpravy goniometrických funkcí, můžeme přidružit k proměnné  . Máme-li pevně zadán bod   Möbiovy pásky, jehož parametry v trivializaci   mají hodnoty   a  , tak v trivializaci   je tentýž bod popsán parametry o hodnotách   a  , kde však

 .

Z těchto vztahů okamžitě vidíme, že na intervalu B přechodová funkce   efektivně obrací hodnotu parametru  

 .

Toto obracení parametru je explicitní vyjádření nespojitosti, se kterou jsme se setkali u zobrazení   v předchozím pododdíle o lokálních trivializacích. Graficky pak obracení parametru   při přechodu od jedné trivializace ke druhé na intervalu   můžeme odtušit ze směru ohraničující šipky na Obr. 3, kde pro trivializaci   směřuje daná šipka ven, zatímco u trivializace   tato šipka směřuje dovnitř.

Jen tak na okraj, v případě válce (kde neuvažujeme jeho podstavy) k žádné podobné nespojitosti nedochází a celý válec tak lze popsat jediným okolím a jedinou lokální trivializací. Válec je tedy příkladem triviálního fibrovaného prostoru. Pokud bychom i přesto pokrývali válec dvěma okolími jako v případě Möbiovy pásky výše a zvolili bychom si přirozenou parametrizaci válcové plochy, tak přechodová funkce by byla na obou intervalech A i B identické zobrazení.

Na závěr tedy můžeme vyjádřit předpis přechodové funkce na celém průniku okolí   a   pro Möbiovu pásku způsobem

 

Rekonstrukce fibrovaného prostoru ze znalosti přechodových zobrazeníEditovat

V tomto oddíle si ukážeme důležitost přechodových funkcí definovaných výše. Zrekonstruujeme totiž fibrovaný prostor   jen na základě znalosti bázové variety  , jejího otevřeného pokrytí  , typického vlákna   a přechodových zobrazení   tvořících strukturní grupu  . K plnému určení fibrovaného prostoru tedy ještě musíme najít totální prostor  , projekci   a lokální trivializace  . Postup je následující:

Nejprve si definujme množinu

 

a zaveďme si na ní relaci ekvivalence  , kdy prvky   a   jsou ekvivalentní   právě tehdy, když   a současně existuje   tak, že  . Aby tento vztah byl skutečně ekvivalencí, musejí přechodové funkce splňovat požadavky:

  1.  ,
  2.  ,
  3.  ,

kde   značí identické zobrazení. Totální prostor   poté definujeme jako množinu   faktorizovanou podle právě uvedené ekvivalence

 .

Každý prvek totálního prostoru je tedy třída ekvivalence. Třídu ekvivalence, jež obsahuje prvek   si budeme značit  . Projekci   definujeme přirozeným způsobem

 .

Podobně přirozeně nadefinujeme i lokální trivializace   a sice

 .

Lze jednoduše ověřit, že takto definované objekty skutečně vyhovují definici fibrovaného prostoru.

Význačné příklady fibrovaných prostorůEditovat

V tomto oddíle jsou zmíněny některé druhy fibrovaných prostorů, z nichž nejvýraznějšími jsou patrně tečný bandl a hlavní fibrovaný prostor.

Vektorový fibrovaný prostorEditovat

Vektorový fibrovaný prostor (angl. vector bundle) je fibrovaný prostor, jehož typickým vláknem je vektorový prostor. Přechodové funkce v tomto případě tvoří strukturní grupu všech nesingulárních matic odpovídajících rozměrů. Je-li typické vlákno reálný vektorový prostor dimenze k, tj.  , tak strukturní grupa je rovna maticové grupě  . Podobně, pokud je typické vlákno rovno komplexnímu vektorovému prostoru  , tak strukturní grupa je  . Číslo k se nazývá dimenze vlákna a značí se, poněkud nekonzistentně, symbolem  .[1] (Ačkoli dimenze totálního prostoru E je rovna n + k, kde n je dimenze bázové variety M.) Důležitým příkladem vektorového fibrovaného prostoru je tečný fibrovaný prostor. Jiným příkladem je normálový fibrovaný prostor. Oba druhy jsou popsány v následujících pododdílech.

Tečný fibrovaný prostorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článcích Tečný prostor a Tečný fibrovaný prostor.

Jedním z důležitých příkladů fibrovaných prostorů je tzv. tečný fibrovaný prostor (někdy též tečný bandl, angl. tangent bundle), k němuž dojdeme následujícím postupem. Uvažujme nějakou (reálnou) diferencovatelnou varietu   konečné dimenze  . V každém bodě   této variety je definován tečný prostor  , což je vektorový prostor všech tečných vektorů k varietě   v bodě  . Disjunktním sjednocením všech tečných prostorů

 

získáme totální prostor tečného fibrovaného prostoru. Disjunktním sjednocením je zde přitom míněno sjednocení, kde prvek z   si „pamatuje“ nejen to, kam coby tečný vektor míří, ale i z jakého bodu variety vychází. Informaci o bodu variety, ze kterého daný prvek   vychází, nám přitom podá projekce  . Matematicky zapsáno

 .

Bázovou varietou je tedy samotná varieta   a vláknem je vektorový prostor  , neboť všechny tečné prostory   pro libovolné   jsou izomorfní  .

Abychom mohli zavést lokální trivializace, uvažme nějaké otevřené pokrytí   variety   a z něho uvažujme právě jedno konkrétní okolí   se souřadnicemi  . Souřadnice   bodu   variety tedy obdržíme ze vzorce  . Každý bod variety   v okolí   je tedy jednoznačně popsán  -ticí čísel. Co víc, za bázi tečného prostoru   si můžeme vzít derivace  . Každý vektor   z   je tedy také určen  -ticí čísel  . Pro jednoznačnou identifikaci bodu   z množiny   (tj. ze vzoru okolí   při projekci  ) je tedy třeba znát   čísel

 .

Za lokální trivializaci   tak můžeme vzít zobrazení, jehož inverze má v souřadnicích   tvar

 .

Tímto způsobem obdržíme lokální trivializace pro všechna pokrývací okolí. Tečný fibrovaný prostor je tedy fibrovaný prostor určený čtveřicí   a danými lokálními trivializacemi.

Řez tečného fibrovaného prostoru se nazývá vektorové pole. Každému bodu variety   je tedy přiřazen nějaký vektor a toto přiřazení je hladké.

Normálový fibrovaný prostorEditovat

Nechť   je  -rozměrná diferencovatelná varieta vložená do prostoru  . Dále nechť   je ortogonální doplněk k   ve vektorovém prostoru  , kde   značí tečný vektorový prostor k varietě   v bodě  . Platí tedy

 ,

kde tečka značí standardní skalární součin. Z předchozího plyne, že vektorový prostor   je izomorfní prostoru  . Disjunktním sjednocením všech množin vznikne normálový fibrovaný prostor   (angl. normal bundle), jehož typickým vláknem je  . Explicitně tedy

 .

Duální fibrovaný prostorEditovat

Mějme vektorový fibrovaný prostor   s vláknem  . K vektorovému prostoru   můžeme uvažovat prostor   k němu duální, jenž je tvořen všemi lineárními funkcionály. Tento prostor má stejnou dimenzi jako   a fibrovaný prostor, kde za vlákno vezmeme  , nazýváme duální fibrovaný prostor (angl. dual bundle). Speciálním druhem duálního fibrovaného prostoru je kotečný fibrovaný prostor, jenž je definován níže.

Kotečný fibrovaný prostorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článcích Lineární forma a Diferenciální forma.

Ke každému tečnému prostoru   existuje prostor duální  , tvořený lineárními funkcionály definovanými nad vektory z  . Tomuto duálnímu prostoru se říká kotečný prostor k varietě   v bodě  . Postupem analogickým tomu pro tečný fibrovaný prostor můžeme definovat tzv. kotečný fibrovaný prostor (někdy též kotečný bandl, angl. cotangent bundle). V případě kotečného fibrovaného prostoru je za bázovou varietu zvolena (reálná) diferencovatelná varieta   dimenze  , totální prostor se definuje jako disjunktní sjednocení duálních prostorů

 

a za vlákno se bere množina  . Tato množina je totiž izomorfní duálnímu prostoru   pro libovolný bod variety  . Projekce   je volena tak, aby pro každý prvek z   vrátila bod variety, odkud tento prvek pochází. To jest

 .

Jak je zmíněno v předchozím pododdíle o tečném fibrovaném prostoru, pro každý tečný prostor   k varietě   v bodě  , kdy se bod   nachází v nějakém pokrývacím okolí   popsaném souřadnicemi  , můžeme za bázi tečného prostoru vzít množinu   derivací podle daných souřadnic. V duálním prostoru   dále můžeme uvažovat bázi souřadnicových funkcionálů  , jejichž působení na vektorech alias derivacích lze vyjádřit elegantně ve tvaru

 ,

kde   označuje Kroneckerovo delta. Každý lineární funkcionál   z duálního prostoru   tak lze zapsat ve tvaru   a je tak plně určen souřadnicemi  . Lokální trivializaci   tak můžeme zavést způsobem, že její inverze nabývá tvaru

 ,

kde   jsou souřadnice bodu  . Tuto konstrukci lokální trivializace můžeme provést pro všechna pokrývací okolí. Kotečný fibrovaný prostor je tedy fibrovaný prostor určený čtveřicí   a danými lokálními trivializacemi.

Řez kotečného fibrovaného prostoru se nazývá diferenciální 1-forma. Každému bodu variety   je tedy přiřazen nějaký lineární funkcionál na   a toto přiřazení je hladké.

Hlavní fibrovaný prostorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Hlavní fibrovaný prostor.

Fibrovaný prostor  , jehož typické vlákno F je rovno strukturní grupě G a ta je navíc grupou Lieovou, nazýváme hlavní fibrovaný prostor (angl. principal bundle nebo G bundle) a značíme též symbolem

 .

Totožnost vlákna a strukturní grupy nám umožňuje na totálním prostoru zavést pravou akci grupy, pomocí které lze mj. snadno popisovat tvar vláken nad jednotlivými body bázové variety. Předtím, než přejdeme k definici, si připomeňme, že lokální trivializace jsou zobrazení  , jejichž inverze jsou dány předpisem

 .

Definujme si nyní pravou akci, kterou libovolný prvek   z grupy alias vlákna   působí na prvсích   totálního prostoru  . Toto působení označíme   a definujeme za pomoci lokálních trivializací předpisem

 ,

kde   a výraz   je grupový součin prvků  . Tato definice je ve skutečnosti nezávislá na konkrétní volbě trivializace a pravá akce grupy je tedy dobře definována. To je patrné z následujících úprav

 ,

kde   a   je přechodová funkce mezi trivializacemi, kterou můžeme chápat jako násobení prvkem   grupy. Platí pro ni tedy

 .

Díky tomu, že typické vlákno je totožné se strukturní grupou, tak platí  . Ze stejného důvodu lze navíc vyjádřit vlákno   nad daným bodem   bázové variety jako

 ,

kde   je libovolný bod, jehož projekce je rovna  , tj.  . Pravá akce nám dále umožňuje zavést význačný případ lokálních trivializací. Předpokládejme, že pro každé pokrývací okolí   máme definován lokální řez  . Lokální řez   tedy každému bodu   přiřadí právě jeden bod   totálního prostoru. Z vlastností typického vlákna alias grupy lze každý bod   z vlákna   nad bodem   vyjádřit pomocí pravé akce a jednoznačně určeného prvku   grupy   jako

 .

Můžeme si tedy zavést lokální trivializaci   vztahem

 .

Takto zavedeným trivializacím se říká kanonické lokální trivializace.

Přidružený fibrovaný prostorEditovat

Mějme zadán hlavní fibrovaný prostor  , diferencovatelnou varietu   a nechť je definována levá akce prvků   grupy   na prvky   množiny  , kterou označíme   a která nemá obecně nic společného s pravou akcí grupy na prvcích totálního prostoru  . Definujme si dále relaci ekvivalence   na kartézském součinu   způsobem

 .

Tento vztah skutečně splňuje definici ekvivalence a můžeme tedy uvažovat množinu   faktorizovanou podle této ekvivalence. Faktorprostor   prohlásíme za totální prostor přidruženého fibrovaného prostoru (angl. associated fibre bundle), jehož bázovou varietou je   a vláknem varieta  .

Pokud za vlákno   vezmeme  -rozměrný vektorový prostor   a za levou akci grupy   na prostoru   uvážíme reprezentaci  , dostáváme vektorový přidružený fibrovaný prostor (angl. associated vector bundle). Tento značíme symbolem

 .

Konkrétněji, prvky totálního prostoru   jsou třídy ekvivalence  , kde ekvivalence je definována stylem

 .

Bázovou varietou je  , projekci   definujeme jako

 

kde   je projekce původního hlavního fibrovaného prostoru. Projekce   je dobře definována, neb pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence vrátí stejný výsledek, jak lze vidět přímým dosazením

 .

Za lokální trivializace můžeme zvolit zobrazení  , která působí způsobem

 .

Konečně, přechodové funkce na vektorovém přidruženém fibrovaném prostoru jsou tvaru  , kde   jsou přechodové funkce na hlavním fibrovaném prostoru  .

PříkladyEditovat

Jeden příklad, Möbiovu pásku, jsme si představili výše v oddíle Grafická interpretace. Zaměřme svojí pozornost nyní na další příklady fibrovaných prostorů.

Příklad 1 – Hlavní fibrovaný prostorEditovat

Mějme hlavní fibrovaný prostor  . Vektorový přidružený fibrovaný prostor je pak vektorový fibrovaný prostor nad   s vláknem  .

Jedním z prvních příkladů (hlavních) fibrovaných prostorů byla Hopfova fibrace.

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Anglicky se používá termín coordinate bundle. Oficiální překlad tohoto pojmu autor tohoto článku nenalezl, použil tedy doslovný překlad.

ReferenceEditovat

  1. a b NAKAHARA, Mikio. Geometry, Topology and Physics. Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 2003. ISBN 978-0-7503-0606-5. 

LiteraturaEditovat

  • NAKAHARA, Mikio. Geometry, Topology and Physics. Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 2003. ISBN 978-0-7503-0606-5. 

Související článkyEditovat