Otevřít hlavní menu

Ekvivalence (matematika)

taková binární relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní
(přesměrováno z Třída ekvivalence)

Pojem ekvivalence je v matematice používán pro binární relaci, která množinu, na které je definována, rozděluje na vzájemně disjunktní podmnožiny. Obvyklé značení relace je pomocí infixu ≡ nebo ~.

Znak
Název v UnicoduIdentical toNot identical to
Kódovánídechexdechex
Unicode8801U+22618802U+2262
UTF-8226 137 161e2 89 a1226 137 162e2 89 a2
Číselná entita≡≡≢≢
Názvová entita≡

Zápis "a ~R b" vyjadřuje, že v relaci ekvivalence R jsou a a b v relaci. Tedy že nebo .

Relací ekvivalence nad množinou může být například . Rozkladem pak bude , přičemž množiny a nazýváme třídy rozkladu.

DefiniceEditovat

Binární relace   na množině   je ekvivalencí, pokud je   na  

  • reflexivní, tj.  
  • symetrická, tj.  
  • tranzitivní, tj.  

Rozklad a třídy ekvivalenceEditovat

Relace ekvivalence určuje jednoznačně rozklad (faktormnožinu) množiny   na třídy ekvivalence.

Rozkladem zde rozumíme takovou množinu   podmnožin množiny  , že sjednocením této množiny je   a každé dva prvky množiny   jsou disjunktní:

  •  , kde   je potenční množina množiny  
  •  
  •  

Třídy ekvivalence jsou právě podmnožiny  , přičemž každá třída ekvivalence obsahuje právě všechny takové prvky z množiny   , že každé dva v rámci této třídy jsou navzájem ekvivalentní ve smyslu dané relace. Každý z těchto prvků je ekvivalentní i se sebou samým (reflexivita). Třídu ekvivalence, do které patří právě nějaký prvek  , značíme  . Z definice je tedy patrné, že tento prvek   je ekvivalentní s každým jiným prvkem náležícím do  . Rozklad množiny   podle ekvivalence   je následující množina:
 

Platí to i naopak – každý rozklad   množiny   určuje jednoznačně právě jednu relaci ekvivalence:  

Příklad rozkladuEditovat

X a Y jsou v relaci, pokud (X mod 10) = (Y mod 10). Rozkladem celých čísel podle této relace jsou pak množiny, z nichž jedna je {…, -38, -28, -18, -8, 2, 12, 22, 32 …}, jiná je {…, -37, -27, -17, -7, 3, 13, 23, 33 …} atd.
Nebo státy X a Y jsou v relaci, pokud se v nich platí stejnou měnou. Potom v jedné množině bude {Česká republika}, protože pouze zde se platí Českou korunou, v jiné {Rakousko,Slovensko,Francie,Belgie..}, protože zde se platí Eurem, atd.

Vlastnosti a příkladyEditovat

Identita jako ekvivalenceEditovat

Na každé množině   je identická relace   ekvivalence. Všechny její třídy ekvivalence jsou jednoprvkové, takže rozklad podle identické relace obsahuje stejný počet prvků, jako původní množina:
 

Kartézský součin jako ekvivalenceEditovat

Na každé množině   je kartézský součin   (tj. největší možná binární relace na množině   ) ekvivalence. Její rozklad má pouze jeden prvek – celou množinu  :
 

Zbytkové třídy jako ekvivalenceEditovat

Uvažujme nyní o množině   všech přirozených čísel a relaci  :
  právě když a,b mají stejný zbytek po dělení číslem 7

Tato relace je ekvivalence (jedná se dokonce o speciální algebraickou ekvivalenci, která je nazývána kongruence). Její rozklad má sedm tříd ekvivalence:
 

Souvislé komponenty grafu jako ekvivalenceEditovat

Uvažme neorientovaný graf  . Na množině vrcholů   lze definovat relaci   jako
  existuje cesta z   do  

Rozklad třídy   definuje souvislé komponenty grafu

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat