Arkus kosinus

Arkus kosinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kosinus. Obvykle se značí $\arccos x$, v anglické literatuře se taktéž používá $\operatorname {acos\,} x$ či $\cos ^{-1}x$. Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu $\langle 0,\pi \rangle$, jehož kosinus je $x$.

Grafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus

Definice

Funkce $y=\arccos x$ je inverzní k funkci $x=\cos y\;\left(0\leq y\leq \pi \right)$; je definována pro $x\in \langle -1,1\rangle$.

Vlastnosti

Značení:	$y=\arccos x\;\;$ $\qquad \left(\;{\mbox{resp.}}\quad \operatorname {acos\,} x,\quad \cos ^{-1}x\;\right)$
Definiční obor	$\langle -1,1\rangle$
Obor hodnot	$\langle 0,\pi \rangle$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající $\quad \Longrightarrow \quad$ je prostá
Symetrie	Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu $(x,y)=\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
Periodicita	Není periodická
Limity	$\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arccos x}{x}}=1\quad$ tj. v okolí nuly je ${\mbox{arccos }}x\approx \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
Inverzní funkce	$x=\cos y$   (kosinus)
Derivace	$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Integrál	$\int \arccos x\,\mathrm {d} x=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
Taylorova řada	$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}-\dots \qquad |x|<1\quad$
Významné hodnoty	${\begin{array}{c|ccc}x&-1&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\\hline \arccos x&\pi &{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {\pi }{2}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{6}}&0\end{array}}$

Vzorce

${\begin{array}{lcll}\arcsin x+\arccos x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\arccos x+\arccos(-x)&=&\pi \\\arccos x+\arccos y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x+y\geq 0\\2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x+y<0\end{array}}\right.\\\arccos x-\arccos y&=&\left\{{\begin{array}{rl}-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x\geq y\\\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x<y\end{array}}\right.\\\end{array}}$

${\begin{array}{lcll}\arccos(\cos x)&=&x,&0\leq x\leq \pi \\\cos(\arccos x)&=&x\end{array}}$

$\arccos x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad 0<x<1$

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-{\frac {x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{3-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{5-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{7-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{9-\displaystyle {\frac {5\cdot 6\cdot x^{2}}{11-\dots }}}}}}}}}}}},\quad |x|<1$

Příklad použití

Mějme goniometrickou rovnici:

${\begin{array}{rcl}2\cos x&=&1\\\hline \cos x&=&{\frac {1}{2}}\\x&=&\arccos {\frac {1}{2}}\\\hline x&=&{\frac {\pi }{3}}\end{array}}$

S ohledem na periodicitu funkce $\cos x$ jsou řešením původní rovnice také hodnoty:

${\begin{array}{rrrrrrrlr}\dots ,&{\color {OliveGreen}{\frac {-11\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {-5\pi }{3}}},&\mathbf {\frac {\boldsymbol {\pi }}{3}} ,&{\color {OliveGreen}{\frac {7\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {13\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {OliveGreen}{x_{k}=}&\color {OliveGreen}{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \\\dots ,&{\color {BrickRed}{\frac {-13\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-7\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {5\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {11\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {BrickRed}{x_{k}=}&\color {BrickRed}{-{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \end{array}}$

Graf

• Vznikne překlopením grafu funkce $y=\cos(x)$ podle osy I. a III. kvadrantu.

Graf funkce arkus kosinus

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu arkus kosinus na Wikimedia Commons
• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.