Arkus sinus

Arkus sinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci sinus. Obvykle se značí $\arcsin x$, v anglické literatuře se taktéž používá $\operatorname {asin\,} x$ či $\sin ^{-1}x$. Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu $\left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$, jehož sinus je $x$.

Grafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus

Definice

Funkce $y=\arcsin x$ je inverzní k funkci $x=\sin y\;\left(-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\right)$; je definována pro $x\in \langle -1,1\rangle$.

Vlastnosti

Značení:	$y=\arcsin x\;\;$ $\qquad \left(\;{\mbox{resp.}}\quad \operatorname {asin\,} x,\quad \sin ^{-1}x\;\right)$
Definiční obor	$\langle -1,1\rangle$
Obor hodnot	$\left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze rostoucí $\quad \Longrightarrow \quad$ je prostá
Symetrie	Je lichá, není sudá
Periodicita	Není periodická
Limity	$\lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin x}{x}}=1\quad$ tj. v okolí nuly je ${\mbox{arcsin }}x\approx x$
Inverzní funkce	$x=\sin y$   (sinus)
Derivace	${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
Integrál	$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
Taylorova řada	$\arcsin x=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\dots \qquad |x|<1\quad$
Významné hodnoty	${\begin{array}{c|ccc}x&-1&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\\hline \arcsin x&-{\frac {\pi }{2}}&-{\frac {\pi }{3}}&-{\frac {\pi }{4}}&-{\frac {\pi }{6}}&0&{\frac {\pi }{6}}&{\frac {\pi }{4}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{2}}\end{array}}$

Vzorce

${\begin{array}{lcll}\arcsin x+\arccos x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\arcsin x+\arcsin(-x)&=&0\\\arcsin x+\arcsin y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&xy\leq 0\;\;{\mbox{nebo}}\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x>0,\,y>0,\,x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x<0,\,y<0,\,x^{2}+y^{2}>1\end{array}}\right.\\\arcsin x-\arcsin y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&xy\geq 0\;\;{\mbox{nebo}}\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x>0,\,y<0,\,x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x<0,\,y>0,\,x^{2}+y^{2}>1\end{array}}\right.\\\end{array}}$

${\begin{array}{lcll}\arcsin(\sin x)&=&x,&-{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\\\sin(\arcsin x)&=&x\end{array}}$

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad 0<x<1$

$\arcsin x={\frac {x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{3-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{5-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{7-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{9-\displaystyle {\frac {5\cdot 6\cdot x^{2}}{11-\dots }}}}}}}}}}}},\quad |x|<1$

Příklad použití

Mějme goniometrickou rovnici:

${\begin{array}{rcl}2\sin x&=&{\sqrt {3}}\\\hline \sin x&=&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\x&=&\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\hline x&=&{\frac {\pi }{3}}\end{array}}$

S ohledem na periodicitu funkce $\sin x$ jsou řešením původní rovnice také hodnoty:

${\begin{array}{rrrrrrrlr}\dots ,&{\color {OliveGreen}{\frac {-11\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {-5\pi }{3}}},&\mathbf {\frac {\boldsymbol {\pi }}{3}} ,&{\color {OliveGreen}{\frac {7\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {13\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {OliveGreen}{x_{k}=}&\color {OliveGreen}{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \\\dots ,&{\color {BrickRed}{\frac {-10\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-4\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {2\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {8\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {14\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {BrickRed}{x_{k}=}&\color {BrickRed}{{\frac {2\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \end{array}}$

Graf

• Vznikne překlopením grafu funkce $y=\sin(x)$ podle osy I. a III. kvadrantu.
• Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce $\sin(x)$ prostá, tedy v tomto případě rostoucí.
• Interval $\textstyle \left\langle -{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\rangle$ z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce $x=\mathrm {arcsin} (y)$.
• Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu.

Odkazy

Externí odkazy

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7.