Keplerova rovnice je transcendentní rovnice pro výpočet pohybu nebeských těles po eliptické dráze. Je důsledkem prvních dvou Keplerových zákonů, které Johannes Kepler publikoval roku 1609, a zní

Keplerova rovnice jako závislost excentrické anomálie E na střední anomálii M vykreslená kalkulátorem Desmos pro různé hodnoty numerické excentricity
.

Keplerova rovnice popisuje vztah mezi polohou nebeského objektu vůči hmotnému středu v jednom z ohnisek elipsy udanou ve formě pomocné veličiny excentrické anomálie , a času zadaného pomocí střední anomálie . Parametr je numerická excentricita eliptické oběžné dráhy.

Keplerova rovnice se používá např. při výpočtu časové rovnice (tj. rozdílu mezi středním slunečním časem a skutečným slunečním časem). Dílčí úlohou je stanovit pravou anomálii Země na její dráze kolem Slunce.

Stručně

editovat

Mějme souřadnicový systém s počátkem ve Slunci a osou x mířící k perihelu. Pak lze tuto trajektorii parametrizovat

 

 ,

kde   a je hlavní poloosa elipsy,   vedlejší poloosa elipsy,   je numerická excentricita,   je vzdálenost ohniska od středu elipsy, úhel   je excentrická anomálie.

Keplerova rovnice má pak tvar:

 

Kde   perioda oběhu a   čas průchodu perihelem. Konečně   je čas, ve kterém se zajímáme o polohu planety. Pravou stranu poslední rovnice nazýváme střední anomálie a značíme  .

Odvození

editovat
 
Ke Keplerově rovnici na eliptické keplerovské dráze
Vzdálenosti: Body:
  velká poloosa   střed
  malá poloosa   ohnisko (Slunce)
  lineární excentricita   Periapsis
Úhly:
  pravá anomálie   objekt (planeta)
  excentrická
      anomálie
  pomocný bod
      objekt
  střední anomálie   fiktivní objekt

Druhý Keplerův zákon zvaný též zákon ploch, vyplývá ze zachování momentu hybnosti v problému dvou těles, který se v astronomii nazývá také Keplerův problém. Předpokládá, že na nebeský objekt   působí pouze radiální síla z hmotného středu  . Tato síla podléhá zákonu převrácených čtverců (je úměrná  , stejně jako Newtonovská gravitační síla), což znamená, že celkový tok síly všemi kulovými plochami se středem   je stejný (tj. nezávislý na poloměru koule  ). Za těchto podmínek je podle prvního Keplerova zákona dráha planety kuželosečka. Keplerova rovnice je vzorec vyjadřující větu o zákonu ploch pro eliptickou dráhu. Ve vzorci je zakomponován čas   ve formě střední anomálie   (tak nazvané Keplerem) a poloha astronomického objektu   na své oběžné dráze (keplerovské elipse) ve formě (Keplerem tak nazvané) pravé anomálie  , tj. jejich úhlová vzdálenost od periapsidy  , (prostřednictvím pomocné veličiny zvané excentrické anomálie  ) v jednoznačně definovaném vztahu.

Veličina   je numerická excentricita elipsy.

Použití střední anomálie

editovat

Rovnoměrné plynutí času lze vyjádřit pohybem fiktivní tělesa (na obrázku  ) po kruhové dráze s konstantní úhlovou rychlostí. K tomuto účelu se používá „kružnice opsaná“ kolem keplerovské elipsy, po které obíhá  .   je okamžik, kdy se jak bod   tak skutečný objekt   nachází v periapsidě  . Oba body mají tutéž oběžnou dobu a oba současně procházejí při každém celočíselném násobku oběžné doby periapsidou a při každém polovičním násobku apoapsidou.

 
K rovnici  

Okamžitá poloha bodu   je reprezentována úhlem (všechny následující úhly jsou uvedeny v úhlové míře) s vrcholem ve středu pomocné kružnice (i elipsy)   ve vztahu pro periapsidu   udaný jako střední anomálie   označuje:

  .

Při tom je   oběžná doba a   střední úhlová rychlost. V okamžiku  , kdy se nebeský objekt nachází v periapsidě, je nejblíže k barycentru v ohnisku   elipsy.

Podle druhého Keplerova zákona opíše průvodič   tělesa   za stejný časový interval stejnou plochu. Protože časový interval (v otáčkách) je úměrný podílu délky oblouku k obvodu opsané kružnice, je podíl eliptické dílčí plochy   k ploše elipsy stejně velký jako podíl oblouku   k obvodu opsané kružnice:

  .

kde   je délka velké poloosy elipsy a také poloměr kružnice opsané, a   je délka malé poloosy elipsy. Elipsa a opsaná kružnice si jsou podobné s poměrem  , tedy elipsu můžeme v každé rovnoběžce brát jako opsanou kružnici „stlačenou“ na malou poloosu v tomto poměru.

 
K rovnici  
 
K rovnici  

Použití excentrické anomálie

editovat

Projekcí pozice planety   na kružnici opsanou eliptické oběžné dráze ve směru kolmém na hlavní poloosu je pomocný bod  . Úhel s vrcholem ve středu   kružnice a rameny tvořenými periapsidou   a polopřímkou vedenou ze středu bodem  , Kepler nazval excentrická anomálie  . Z podobnosti plyne následující vztah:

  .

Po dosazení rovnice   do rovnice   dostáváme:

  .

Výsledek: Keplerova rovnice

editovat
 
K rovnici   a  
 
K rovnici  

Iplicitní

editovat

Pomocí rovnice   nalezneme implicitní vyjádření požadovaného vztahu mezi excentrickou anomálií (bod  ) a střední anomálií (bod  ). Explicitní vztah vyplývá až po/kým následující krok:

Explicitní

editovat

Pokud průvodič   opíše v jedné periodě   plný úhel   a opsaná plocha je  , pak opíše do doby   úhel   o faktor   menší plochu:

  .

Podobně analyzujeme průvodiče   v úhlu   a dostáváme:

  .

Plocha   se skládá z plochy   a  :

  .

Dílčí plocha   (na obrázku ohraničená světle modře) je přímočarý ohraničený trojúhelník se základnou   a výškou   :

  .

  je numerická excentricita elipsy, zatímco   je lineární excentricita, což je vzdálenost ohniska elipsy od jejího středu.

Dílčí plocha   je podle rovnice   stejně velká jako plocha  , jejíž hodnotu udává rovnice  .

Dosazením rovnic  ,   a   do rovnice   dostáváme

  .

z čehož plyne Keplerova rovnice:

  .

Metody řešení Keplerovy rovnice

editovat

Řešení Keplerovy rovnice není možné vyjádřit v uzavřeném tvaru jako funkci excentrické anomálie  . Existují různé metody, jak vypočítat   ze střední anomálie  :

  1.   je lichá periodická funkce proměnné   s periodou  . Je tedy možné ji rozvinout ve Fourierovu řadu, která konverguje pro všechny   a  , a platí
     
    kde   je Besselova funkce prvního druhu  -tého řádu.[1][2]
    Z hodnoty   pro   je možné snadno vypočítat všechny ostatní hodnoty  :
     
    kde   (závorka znamená celou část čísla),   a  , takže  .
  2. Kořen   funkce
     
    je řešením Keplerovy rovnice. Nulový bod je možné numericky vypočítat pomocí Newtonovy metody následujícím způsobem:
      .
    Pro většinu eliptických drah je vhodná počáteční hodnota  . Pro excentricity   je vhodnější  .
  3. Stabilní, ale pomalu konvergující metoda vychází z Banachovy věty o pevném bodě:[3]
      .
  4. Pro malé excentricity   je možné   aproximovat také následujícím způsobem:[4]
     
    Přitom chyba je řádu  ; v případě Země, jejíž dráha má excentricitu   je chyba v omezeném časovém rámci menší než na 5. desetinném místě.
  5. Řešením pro   pomocí Lagrangeovy inverzní transformace je Maclaurinova řada pro  
     
    pro   konverguje lineárně. Je-li tedy  , pak konverguje pro   lineárně.
    Posloupnost A306557 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences uvádí koeficienty polynomů v čitateli s proměnnou  .

Řešení některých dílčích úloh Keplerova problému

editovat

Střední anomálie → pravá anomálie

editovat

Pro stanovení pozice nebeského tělesa na keplerovské dráze v okamžiku   nebo pro střední anomálii   odpovídající tomuto okamžiku je třeba zjistit pravou anomálii  . Pomocí Keplerovy rovnice nejdříve určíme excentrickou anomálii   (viz výše). Pak lze spočítat pravou anomálii   podle následující vztahů:[5]

 

nebo

 

Zde je   lineární excentricita eliptické dráhy. Pro získání správné hodnoty   je nutné rozlišovat případy   a  .

Poznámky
  • Jmenovatel druhého vzorce udává přímou vzdálenost   astronomického objektu od ohniska  :
 
  • Ze vzorců lze lehce vyjádřit   nebo  , výsledek je:[6]
 
a
 

Pravá anomálie → střední anomálie

editovat

Pro astronomické těleso na keplerovské dráze s pravou anomálií   je třeba určit příslušnou střední anomálii   pro okamžik  . Jde o úlohu s opačným zadáním než jaká je uvedena výše.

Pro výpočet excentrické anomálie z času   platí

  .

Dolní index   u   vyjadřuje, že je třeba hodnotu arkustangenty umístit do správného kvadrantu (stejného v jakém je  ). Keplerova rovnice udává   příslušnou střední anomálii

  .

Z lineární rovnice pro tento element dráhy dostáváme:

 
Příklad na získání časového okamžiku z pravé aomálie

Čas průchodu čtyřmi vrcholy elipsy zemské dráhy:
Elementy dráhy platné pro planetu Zemi jsou uvedené v článku Oběžná dráha Země kolem Slunce. Referenční použitý čas   se počítá v juliánských staletích. Zde se však   počítá ve dnech, takže čas   je třeba vydělit 36525, aby bylo zachováno   a  . Přitom se zanedbávají velmi pomalé změny numerické excentricity ( ). Nulový čas   a v důsledku toho také   – je 1. leden 2000, 12:00 UT. Pravá anomálie při průchodu Země perihelem v roce 2000 je rovna 360° (ne nulová!), v roce 2001 rovna 720° atd.

Čas průchodu čtyřmi vrcholy elipsy zemské dráhy
perihel 2000 jarní
vedlejší vrchol
afel podzimní
vedlejší vrchol
perihel 2001
Pravá anomálie   360 450 540 630 720
čas   2,511 91,883 185,140 278,398 367,770
časový rozestup   89,372 93,258 93,258 89,372

Vzdálenost mezi dvěma středními průchody perihelem (anomalistický rok) je   Takto spočítané střední časy průchodu perihelem se mohou o několik dnů lišit od skutečných (především kvůli rušení Měsícem).

Pravá anomálie → poloměr dráhy

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Keplerovská dráha.

Pozice astronomického tělesa na jeho keplerovské dráze v čase   je určena jeho pravou anomálií. Příslušnou vzdálenost – poloměr dráhy – lze spočítat následujícím způsobem:

 
  vzdálenost (poloměr dráhy)
  velká poloosa elipsy
  numerická excentricita
  pravá anomálie

Pravá anomálie → dráhová rychlost

editovat

Časová změna pravé anomálie odpovídá úhlové rychlosti   vzhledem ke gravitačnímu centru. Normálová složka rychlosti plyne tedy přímo ze vzorce

 

radiální rychlost je časová změna poloměru dráhy:

 

Pro dráhovou nebo orbitální rychlost   pak plyne z Pythagorovy věty  

 
  dráhová rychlost
  pravá anomálie
  poloměr dráhy

Snáze lze dráhovou rychlost určit pomocí hodografu   ze zákona ploch:[7]

 
  specifický úhlový moment jako centrální parametr pohybu
 
  parametr elipsy jako typický element dráhy
 
  velká poloosa
  velká poloosa
  s Gravitační konstanta   a hmotnost   centrálního tělesa

Z tohoto vyplývá minimální a maximální rychlost v apocentru a pericentru eliptické dráhy:[7]

 
  numerická excentricita

Další vztahy

editovat

Mezi pravou anomálií   excentrickou anomálií   a střední anomálií   existují také četné další vztahy,[8] které byly používány v historii nebeské mechaniky. Pravou anomálii vypočítat bez okliky přes Keplerovu rovnici, přímo ze speciální diferenciální rovnice pro  ,[9] což je zajímavé pro postupné numerické aproximace.

Pro malé excentricity lze také aproximovat pravou anomálii   ze střední anomálie  :

 

Rozdíl    se nazývá rovnice středu.[9]

Použití Keplerovy rovnice pro výpočet časové rovnice

editovat

Výpočtem časové rovnice se v tomto článku zabýváme podrobněji, protože její výpočet se v některých detailech liší od výpočtu v hlavním článku. Vychází z oběžných prvků Slunce, které jsou extrapolovány od 1. ledna 2000 12:00 UTC do dne, pro který se má časová rovnice vypočítat. Pro období do roku 2025 se zde používají předem stanovené tzv. základní sluneční hodnoty pro 1. leden[10] Extrapolace pro kalendářní den v aktuálním roce je tak odpovídajícím způsobem kratší. Zde se používá přímo Keplerova rovnice, tam s rovnicí středu, která je z Keplerovy rovnice odvozena, což tam výpočet zkracuje.

V časové rovnici se používá poloha Země na její eliptické dráze kolem Slunce ve 12:00 UTC v určený den roku. Ta se vypočítá pomocí Keplerovy rovnice jako excentrická anomálie   a převede se na pravou anomálii  . Po přechodu na geocentrický pohled na svět se výsledek nerovnoměrného orbitálního pohybu (první příčina časové rovnice) přepočítá na čas odvozený od Slunce (pravý sluneční čas WOZ).

Kvantitativní, tedy numerické zpracování[pozn. 1] časové rovnice je v podstatě – totiž při z eliptický pohybu po dráze Země vyplývající části časové rovnice – použitím Keplerovy rovnice. Především stal se s tím/v důsledku místo Země na její eliptické dráze (také keplerovská dráha) k dané/předpovědět okamžik nastaven.

  • , 2006. Sonnenuhren-Handbuch, Berechnung der Zeitgleichung. [s.l.]: Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V.. (Fachkreis Sonnenuhren). 

Definice časové rovnice

editovat

První definice:

 

Hodnota skutečného místního času (WOZ) případně středního místního času (MOZ) odpovídá aktuální/příslušné poloze skutečného resp. fiktivního středního Slunce na obloze (z geocentrického pohledu). Protože denní doba souvisí s otáčením Země okolo své osy, nezajímá nás deklinace, ale pouze aktuální rektascenze Slunce. Střední Slunce, které představuje rovnoměrně plynoucí čas, obíhá kolem nebeského rovníku. Časová rovnice je úměrná rozdílu mezi rektascenzí   fiktivního středního a   skutečného pravého Slunce.

Druhá definice:

 

Faktor 4 vyplývá z toho, že objekt, jehož rektascenze je o 1° větší, projde poledníkem o 4 minuty později. Pořadí obou hodnot je opačné, protože směr pro hodinový úhel   (jemuž odpovídá WOZ a MOZ) a rektascenze   jsou vzájemně opačné.

K určení okamžiku   pro zjištění rektascenze   (rovnice  ) Slunce odpovídá rovníkové délce Země v heliocentrickém pohledu, kterou lze snadno vypočítat z její ekliptikální délky   (druhý obrázek). Pomocí Keplerovy rovnice se určí pravá anomálie   (první obrázek), z níž se pak změnou vztažného bodu určí  .

Použití Keplerovy rovnice

editovat
 
Okamžité anomálie Země (v čase t) na její eliptické dráze kolem Slunce:
V – pravá anomálie, M – střední anomálie, E – excentrická anomálie
B – Slunce, X – Země, Y – fiktivní Země, P – Perihel, A – Afel, K – poloha Země 1. ledna
vlevo dole: V a M jako funkce času
 
Přechod z heliocentrické eliptické oběžné dráhy Země (vlevo, s pravou Zemí X a fiktivní Zemí Y) na geocentrickou dráhu Slunce (eliptická dráha vpravo s pravým Sluncem S a fiktivním Sluncem S')
 
„Převedení“ pravého Slunce k rovníku: stanovení jeho rektrascenze α z ekliptikální délky λ
S″: Střední Slunce na rovníku

Střední anomálie:

V rovnici   obecně formulovaná střední anomálie v souvislosti s časovou rovnicí je:

 
 : anomalistisches rok mezi dvěma průchody Perihels
 : okamžik průchodu perihelem

Při průchod periheliem má střední anomálie hodnotu:

 

U časové rovnice je obvyklé, že hodnoty kalendářního roku odpovídají Hvězdářské ročence k vydávat. Jako nulový bod pro   se používá 1. leden 12:00 (UT) příslušného roku, takže aktuálně pro   jako 2 až 3 dne a z ní pro   jako 2° až 3° platit.[12] Stalo se zvykem zveřejňovat vždy novou hodnotu pro   jako takzvané roční konstanty.

S   a   od 1. leden 12:00 (UT) stal se z rovnice (12):

 

Keplerova rovnice:

 

S dané/předpovědět okamžik odpovídající střední anomálie   a excentricitu oběžné dráhy Země   stal se s pomoc Keplerova rovnice excentrická anomálie   určený.

Pravá anomálie:

Při výpočtech časové rovnice se pro pravou anomálii používá většinou označení   (místo   jako výše).

Excentrická anomálie   v čistě geometrickém pohledu převádí elipsu na jí opsanou kružnici (první obrázek) následujícím způsobem: pro pravou anomálii  :[5]

 
  … konstanta elipsy

Keplerův problém je vyřešen stanovením pravé anomálie Země. Dokončení výpočtu časové rovnice je v následující části.

Pravá anomálie Země → rektascenze Slunce

editovat

Pravá anomálie Země → ekliptikální délka Země → ekliptikální délka Slunce:

Při pohledu ze Země se oběh Země kolem Slunce projevuje zdánlivým pohybem Slunce po ekliptice, což je průsečík roviny oběžné dráhy Země se směrovou sférou obíhající kolem Země jako středu (viz druhý obrázek).[13][14] Ekliptikální délka Země a ekliptikální délka Slunce jsou tedy synonyma s označením  

Referenčním bodem pro ekliptikální délku (a také rektascenzi) je podle obecného zvyku jarní bod. Ekliptikální délka   Slunce se získá tak, že k perihelu oběžná dráha Země získaný úhel   úhel   mezi perihel P a bod jarní rovnodennosti odpovídající místo (F) se sečte:[15]

 

Hodnota   je záporná. Při téměř konstantních základních veličinách je   ta, které se s časem kvůli pomalému přibližování bodu jarní rovnodennosti případně bod (F) k perihelu mění nejvíce. Nepoužívá se tedy jako takzvané roční konstanty   nový nastavený, ale neustále se mění podle následující rovnice:

 

bod jarní rovnodennosti a perihel se přibližuje s     je tropický rok (čas mezi dvěma po sobě následujícími průchody jarním bodem případně bodem (F)). S přihlédnutím k rovnici   lze místo rovnice   psát:

 

Hodnota   je záporná.

Ekliptikální délka Slunce → rektascenze Slunce:

Časová rovnice je způsobena tím, že Země obíhá kolem Slunce po elipse, že zemská osa není kolmá k rovině zemské dráhy, a kvůli změnám směru zemské osy vůči Slunci.

Rektascenzi Slunce   lze určit např. pomocí obecně známých rovnic pro převod souřadnic nebo z následujícího jednoduchého vztahu v odpovídajícím pravoúhlém sférickém trojúhelníku (viz třetí obrázek) z ekliptikální délka  :

 

kde   je úhel sklonu zemské osy:  .

Rektascenze středního Slunce

editovat

Pohyb středního Slunce S″ (třetí obrázek vpravo) na rovníku ilustruje rovnoměrně plynutí času stejně jako pohyb fiktivní Země (bod Y) po oběžné dráze. Jeho pohyb má být co nejtěsněji spojen s dráhou skutečného Slunce, aby přibližně „zprůměroval“ jeho skutečný pohyb. Toho je možné dosáhnoyt pomocí následující definice:[16]

 

Pokud člověk/lidé časové změna z   se zanedbá, platí také:

 

Časová rovnice

editovat

Pro použití časové rovnice   je třeba získat rektascenzí   a   jsou nalezeny.

 

Příklad

editovat

Vypočítejte časovou rovnici pro den 2. dubna 2015, 12:00 UT (t = 91 dne).

Roční konstanty pro rok 2015 jsou:[16][17] [18]

 
 
 
 
 
 

Postup výpočtu:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Časová rovnice má pro 2. dubna 2015, 12:00 UT hodnotu:

 

Početní příklad 2

editovat

Vypočítejte časovou rovnici pro 1. května 2015, 12:00 UT (t = 120 dne).

Výpočet:

 
 
        Řešení bylo nalezeno pomocí iterací.
 
 
 
 
 
 

Časová rovnice má pro 1. květen 2015, 12:00 UT hodnotu:

 

Hodnoty časové rovnice pro průchod charakteristickými body dráhy

editovat

Hodnoty časové rovnice pro průchod Země charakteristickými body své dráhy (případně Slunce na ekliptice) jsou z kalendáře a v důsledku toho nezávislé na roční konstantě  : okamžiky začátku jara, léta, podzimu a zimy, a okamžiku průchodu přísluním a odsluním.

Hodnota časové rovnice a časový okamžik pro průchod charakteristickým bodem dráhy *)
začátek jara začátek léta začátek podzimu začátek zimy perihel afel
λ/° 0 90 180 270 L0 L0 + 180
ZG/min −7,44 −1,74 +7,48 +1,70 −4,50 −4,50
tP/d **) 76,234 168,990 262,641 352,485 0 182,621

 *) Hodnota platí pro rok 2004 s L0 = −76,99° a Jtr =365,2428 dne.[16]
**) Uvedené časy se vztahují k okamžiku průchodu periheliem, ne k 1. lednu 12:00 UT jako ve výše uvedeném příkladu

Jejich výpočet je snazší než výpočet pro obecný časový okamžik, protože není třeba řešit Keplerovu rovnici  . Z dané ekliptikální délky   jednoho z charakteristických bodů lze snadno zjistit jak pravou anomálii (rovnice  )[pozn. 2] tak excentrickou anomálii. Z excentrické anomálie a z přeuspořádané Keplerovy rovnice   vyplývá střední anomálie, tj. oběžný bod fiktivní střední Země. Ekliptikální délka perihelu[18] přičtená ke střední anomálii (rovnice  ) je hledaná střední rektascenze   (menšenec v časové rovnici  ). Pravá rektascenze   (menšitel) je pro body od jara do zimy identická s jejich ekliptikální délkou  . Pouze v perihelu a afelu dává transformace souřadnic (rovnice  ) malé rozdíly hodnot.

Pokud se výpočet začne s danou ekliptikální délkou nebo danou pravou anomálií, získáme kromě časové rovnice také čas od průchodu Země perihelem. Je to čas, který představuje střední anomálii a stává se mezivýsledkem pro výpočet střední anomálie   pomocí rovnice, kterou je třeba odpovídajícím způsobem přeuspořádat  .

Tento přístup je také někdy doporučován pro obecnou práci při používání tabulek časové rovnice.[19] Tím se ušetří časově náročné řešení Keplerovy rovnice, ale hodnoty pro požadované časové okamžiky lze však nalézt pouze metodou pokusů a omylů nebo interpolaci (pokud to hustota hodnot umožňuje).

Poznámky

editovat
  1. Použité symboly jsou stejné jako v knize[11]
  2. Výpočet je založen na ekliptické délce   perihélia, což je dostatečně přesné a nelze to udělat jinak, protože čas t není znám.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kepler-Gleichung na německé Wikipedii.

  1. Lagrange 1771, s. 204–233.
  2. Colwell 1992, s. 45-48.
  3. Guthmann 1994, s. 128 f., § II.6.67 Numerische Verfahren.
  4. Guthmann 1994, s. 125 ff, § II.6.66 Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie.
  5. a b Wetzel 2007, Anhang 3.
  6. Strebel 2001, Kap. 1.3 a 5.1.
  7. a b Guthmann 1994, s. 114 f, § II.5.58 Der Hodograph.
  8. Guthmann 1994, s. 122 f, Aufgaben zu § II.5.
  9. a b Guthmann 1994, s. 123, 10. und 11. Aufgabe zu § II.5.
  10. Základní sluneční hodnoty a použité symboly jsou převzaty z příručky Sonnenuhren-Handbuch Německé společnosti pro chronometrii: Fachkreis Sonnenuhren entnommen: 2006, S. 43–49.
  11. Sonnenuhren-Handbuch, s. 43–49.
  12. Wegen der Schalttagregelung im Kalender schwanken beide Werte innerhalb der Vierjahresperiode schwach: ΔtP ≈ ¾Tag, ΔM0 ≈ ¾°.
  13. Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle. BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2, S. 507.
  14. Dieser Zusammenhang erlaubt umgekehrt, die ekliptikale Länge   und den Jarní bod F als Bezugspunkt (sowohl für   als auch für  ) auf die Erdbahn zurückzuspiegeln (siehe nebenstehende Abbildung, rechts → links).
  15. Symboly pro úhlový rozdíl a polohu v závorkách na vedlejším obrázku, protože úhel a poloha nejsou definovány pro použití na oběžné dráze Země. (Zeichen für Winkeldifferenz und Ort in nebenstehender Abbildung in Klammern gesetzt, da Winkel und Ort für den Gebrauch auf der Erdbahn nicht definiert sind.)
  16. a b c Sonnenuhren-Handbuch, 3.3 Berechnung der Zeitgleichung. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Fachkreis Sonnenuhren, 1900.
  17. Tyto „základní hodnoty“ platí pro 1. leden 2015 12:00 UT. Jejich pomalá změna není v průběhu roku 2015 zohledněna. Změny kumulované v tomto období se objeví až v ročních konstantách pro rok 2016. Výjimkou je  . Rovnice   obsahuje permanentní změnu  .
    Extrapolace ročních konstant se provede ze základních hodnot pro roky 2000 příp. 1900 následujícím způsobem (DGC-Handbuch, S. 47):
     
     
     
     
     
     
      počet dní od 1. ledna 2000 12:00 UT;   je počet let od roku 1900. Úhly   a   se musí počítat modulo 360°, a musí ležet v intervalu −180° a +180°.
  18. a b Roční konstanty (např. pro rok 2015) se takto nazývají, protože se používají pouze pro jeden rok, ke kterému se vztahují. Kromě toho platí také pro data ve vzdálených letech (např. pro rok 2050 nebo 1950), aniž by došlo k významné ztrátě přesnosti časové rovnice. Čas   potom nabývá odpovídajících vysokých kladných nebo záporných hodnot; Uvedené schéma výpočtu však zůstává použitelné beze změny. Při určování   a   by měly být použity takové hodnoty arkustangenu   nebo  , které leží nejblíž.
  19. Heinz Schilt: Zur Berechnung der mittleren Zeit für Sonnenuhren. Schriften der Freunde alter Uhren, 1990.

Literatura

editovat
  • GUTHMANN, Andreas, 1994. Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. Mannheim: BI-Wiss.-Verl. ISBN 3-411-17051-4. 
  • COLWELL, Peter. Solving Kepler's equation over three centuries. Příprava vydání Willmann-Bell. Richmond, VA: [s.n.], 1993. Dostupné online. ISBN 0-943396-40-9. S. 202. 
  • STREBEL, R., 2001. Die Keplersche Gleichung [online]. Říjen 2001 [cit. 2024-03-10]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2011-08-13. 
  • LAGRANGE, J.-L., 1771. Sur le problème de Kepler. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin. Roč. 25. 
  • COLWELL, Peter, 1992. Bessel functions and Kepler's equation. Amer. Math. Monthly. 1992-01, čís. 1. (anglicky) 
  • WETZEL, Siegfried, 2007. Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie. Podzim 2007, čís. Mitteilungen Nr. 111. Dostupné online.  Archivováno 7. 4. 2014 na Wayback Machine.

Externí odkazy

editovat