Otevřít hlavní menu

Besselova funkce je řešení Besselovy rovnice

pro libovolné reálné číslo , které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce je pojmenována na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který ji poprvé popsal.

Cylindrické funkceEditovat

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkceEditovat

Není-li   celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

 ,

kde   a   jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a   jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu   je definována vztahem

 ,

kde   je gama funkce.

Je-li   celé číslo, pak platí

 ,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro   lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

 

Platí následující rekurentní vztahy

 
 
 
 

Neumannova funkceEditovat

Je-li   celé číslo, pak   a   nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

 ,

kde   je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná   definovány vztahem

 

Pro   různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

 

Je-li   celé číslo, pak platí

 

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

 

Platí následující rekurentní vztahy

 
 
 
 

Hankelova funkceEditovat

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce   a  , které jsou definovány jako

 
 

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkceEditovat

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

 

pro celá nezáporná  .

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

 

a sférickou Neumannovu funkci

 ,

kde   jsou Besselovy funkce a   jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

 

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

 
 

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

 
 
 

Lze ukázat, že platí

 
 
 
 

Modifikovaná Besselova funkceEditovat

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

 

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhuEditovat

Není-li   celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

 ,

kde   je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

 

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

 

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhuEditovat

Pro celá   platí

 

Pro celá   tedy nejsou   a   lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

 ,

kde   je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé   je definováno

 

Pro celá   pak platí

 

Fresnelův ohyb světla na hraněEditovat

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

 
Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat