Besselova funkce
Besselovy funkce jsou řešení Besselovy rovnice
pro libovolné reálné číslo , které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce jsou pojmenovány na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který je poprvé popsal.
Cylindrické funkce editovat
Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice
Besselova funkce editovat
Není-li celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako
- ,
kde a jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a jsou libovolné konstanty.
Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.
Besselova funkce řádu je definována vztahem
- ,
kde je gama funkce.
Je-li celé číslo, pak platí
- ,
výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.
Pro lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru
Platí následující rekurentní vztahy
Neumannova funkce editovat
Je-li celé číslo, pak a nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar
- ,
kde je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.
Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.
Neumannovy funkce jsou pro celočíselná definovány vztahem
Pro různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem
Je-li celé číslo, pak platí
Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah
Platí následující rekurentní vztahy
Hankelova funkce editovat
Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce a , které jsou definovány jako
Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.
Sférické cylindrické funkce editovat
Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice
Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci
a sférickou Neumannovu funkci
- ,
kde jsou Besselovy funkce a jsou Neumannovy funkce.
Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah
Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce
Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy
Lze ukázat, že platí
Modifikovaná Besselova funkce editovat
Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice
Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu editovat
Není-li celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar
- ,
kde je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem
Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako
Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu editovat
Pro celá platí
Pro celá tedy nejsou a lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru
- ,
kde je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).
Pro necelé je definováno
Pro celá pak platí
Fresnelův ohyb světla na hraně editovat
Důležitým příkladem použití Besselových funkcí je Fresnelův ohyb světla na hraně.
Související články editovat
Externí odkazy editovat
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Besselova funkce na Wikimedia Commons
Literatura editovat
- Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5