Otevřít hlavní menu

Einsteinovy rovnice gravitačního pole

soubor rovnic

Einsteinovy rovnice gravitačního pole (ERGP, také známy jako Einsteinovy rovnice) zahrnují soubor 10 rovnic v obecné teorii relativity Alberta Einsteina, které popisují základní interakci gravitace jako výsledek zakřivení časoprostoru hmotou a energií.[1] Poprvé je Einstein publikoval v roce 1915 jako tenzorové rovnice,[2] ERGP týkající se místa časoprostorového zakřivení (vyjádřeno Einsteinovým tenzorem) s lokální energií a hybností v rámci tohoto časoprostoru (vyjádřeno tenzorem energie a hybnosti).[3]

Obecná teorie relativity

'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'
  • Základní pojmy
  • Jevy
  • Rovnice, formalismus
  • Řešení
  • Vědci

Podobně jako způsob, kterým jsou elektromagnetická pole určována náboji a proudy pomocí Maxwellových rovnic, jsou ERGP používány k určení geometrie časoprostoru vyplývající z přítomnosti hmotnosti-energie a lineární hybnosti, tj. určují metrický tenzor prostoročasu pro dané uspořádání energie a hybnosti v časoprostoru. Vztah mezi metrickým tenzorem a Einsteinovým tenzorem umožňuje, aby ERGP byly zapsány jako soubor nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, když jsou používány tímto způsobem. Řešení ERGP jsou součásti metrického tenzoru. Setrvačnost trajektorií částic a záření (geodetika) ve výsledné geometrie se pak vypočte pomocí geodetické rovnice.

Stejně jako při zachování místní energie- hybnosti ERGP zachovává Newtonův gravitační zákon, pokud je gravitační pole slabé a rychlosti jsou mnohem menší než rychlost světla.[4]

Přesná řešení pro ERGP lze nalézt pouze za zjednodušujících předpokladů, jako je symetrie. Nejčastěji se studují speciální třídy přesných řešení, protože modelují mnoho gravitačních jevů, jako jsou rotující černé díry a rozpínající se vesmír. Další zjednodušení je dosaženo aproximací skutečného časoprostoru jako plochého časoprostoru s malou odchylkou, která vede k linearizovaným ERGP. Tyto rovnice se používají ke studiu jevů, jako jsou gravitační vlny.

Matematická formaEditovat

Rovnice vychází z toho, že fyzikálnímu poli lze přiřadit symetrický tenzor energie a hybnosti  . Dále se v teorii relativity předpokládá, že gravitační pole v daném bodě   je možné popsat deseti funkcemi  ,   (viz metrický tenzor).

Einsteinovy rovnice je možné zapsat ve tvaru

 ,

kde   je tenzor energie a hybnosti,   je Einsteinův tenzor a symbol   je označením pro všechna ostatní fyzikální pole čistě negeometrické povahy (včetně jejich derivací), jako je např. hmotný prach, tekutina nebo elektromagnetické pole.   je Einsteinova gravitační konstanta

 .

V tomto vzorci je   Newtonova gravitační konstanta a   je rychlost světla.

O Einsteinovu tenzoru   lze předpokládat, že závisí pouze na metrickém tenzoru a jeho parciálních derivacích podle   nejvýše do druhého řádu. Obvykle se také požaduje, aby   záviselo na druhých derivacích metrického tenzoru lineárně, což lze zapsat jako

 .

Zákon zachování energie a hybnosti omezuje pravou stranu Einsteinových rovnic podmínkou  . Divergence levé strany Einsteinových rovnic tedy musí být identicky nulová, tzn.  .

Lze ukázat, že pokud má   záviset pouze na metrickém tenzoru a jeho derivacích, pak je tvar   určen až na konstanty   jako

 

kde   je Ricciho tenzor a   je skalární křivost.

Srovnáním tohoto vztahu se zúženými formami Riemannova tenzoru lze dojit k závěru, že můžeme položit   a  . Konstanta   zůstává neurčena. Zavedeme-li novou konstantu  , můžeme rovnici popisující gravitační zákon vyjádřit jako

 

Konstanta   se označuje jako kosmologická konstanta. Konstanta   hraje úlohu pouze v kosmologických měřítkách. Pokud řešíme problémy, které nejsou kosmologického charakteru, klademe  , tzn.

 

Zúžením této dostaneme skalární rovnici

 

S pomocí této rovnice lze předchozí rovnici upravit na

 

V prázdném prostoru, tedy v dokonalém vakuu, platí

 

V takovém případě platí   Odtud plyne, že v prázdném prostoru se rovnice gravitačního pole redukují na tvar

 

Einsteinovy rovnice gravitačního pole, představují systém deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice tvoří základ obecné teorie relativity.

Vzhledem k tomu, že tyto rovnice jsou nelineární, neplatí v obecné teorii relativity princip superpozice.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Einstein field equations na anglické Wikipedii.

  1. EINSTEIN, Albert. The Foundation of the General Theory of Relativity. Annalen der Physik. 1916, s. 769. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2012-02-06. DOI:10.1002/andp.19163540702. Bibcode:1916AnP...354..769E. (anglicky)  Archivováno 29. 8. 2006 na Wayback Machine
  2. EINSTEIN, Albert. Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. November 25, 1915, s. 844–847. Dostupné online [cit. 2017-08-21]. (anglicky) 
  3. Misner, Thorne a Wheeler 1973, s. 916 [ch. 34].
  4. CARROLL, Sean. Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. [s.l.]: [s.n.], 2004. ISBN 0-8053-8732-3. S. 151–159. (anglicky) 

LiteraturaEditovat

Viz zdroje obecné teorie relativity.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat