Kosočtverečný dvanáctistěn

Kosočtverečný dvanáctistěn
Objem	středově souměrný
Povrch	konvexní
Obrazec stěny	kosočtverec
Počet vrcholů	14
Počet hran	24
Počet stěn	12
Úhel u vrcholu	120°
Duální mnohostěn	[[]]

Kosočtverečný dvanáctistěn (rombický dodekaedr) je prostorové těleso, konkrétně konvexní mnohostěn s 12 shodnými kosočtverečnými stěnami. Má 24 hran a 14 vrcholů, z čehož 8 vrcholů spojují 3 hrany a 6 vrcholů spojují 4 hrany.

Vlastnosti

Kosočtverečný dvanáctistěn je středově souměrný a je duální ke kuboktaedru (krychloktaedru), Archimedovskému tělesu.

Délka úhlopříčky každé stěny je přesně √ 2 násobkem délky kratší úhlopříčky, takže ostré úhly v každém kosočtverci měří arccos (1/3), tedy přibližně 70,53°.

Těleso je středově souměrné, proto má navzájem rovnoběžné protilehlé stěny. Nemůžeme ho ale považovat za pravidelné, jelikož vrcholy leží ve dvou různých vzdálenostech od středu. Tím pádem všechny vrcholy neleží na kouli.

Do kosočtverečného dvanáctistěnu můžeme vepsat některá Platónská tělesa. Lze sem vepsat čtyřstěn, krychle i osmistěn. Čtyřstěn sestrojíme spojením čtyř nesousedících vrcholů tvořených třemi hranami. Krychli zkonstruujeme propojením všech vrcholů se sbíhajícími se třemi hranami, takže hrany krychle jsou kratší úhlopříčky kosočtverců. Pro osmistěn spojíme všechny vrcholy tvořené čtyřmi hranami, hrany osmistěnu jsou pak delší úhlopříčky kosočtverců.

Platónská tělesa v kosočtverečném dvanáctistěnu

Kosočtverečný dvanáctistěn je duální ke kuboktaedru (krychloktaedru), Archimedovskému tělesu. Můžeme jej sestrojit, tak, že propojíme středy všech jeho stěn.

Kuboktaedr uvnitř kosočtverečného dvanáctistěnu

Kosočtverečný dvanáctistěn může být rozdělen na dvanáct pravidelných čtyřbokých jehlanů, které vycházejí z původní vnitřní krychle. To vysvětluje, proč těleso dokáže pokrýt prostor bez mezer. Toho si můžeme mimo jiné povšimnout v krystalické mřížce granátu. V krystalografii se mřížka označuje jako krychlová.

Animace konstrukce kosočtverečného dvanáctistěnu z krychle obrácením středové čelní pyramidy krychle.
Krystal granátu
Animace vysvětlující krystalovou podobnost krychle a kosočtverečného dvanáctistěnu
Skládáním těles do sebe tedy lze pokrýt plochu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rhombic dodecahedron na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Kosočtverečný dvanáctistěn na Wikimedia Commons