Dvojný integrál

Dvojný integrál (též dvourozměrný integrál) je integrál z funkce dvou proměnných. Používá se hlavně k výpočtu objemu pod prostorovou křivkou. Definičním oborem těchto funkcí je rovina nebo její část. Dvojný integrál se proto počítá na nějaké rovinné oblasti. Objem pod prostorovou křivkou funkce na oblasti zapíšeme jako

VýpočetEditovat

Dvojný integrál se snažíme převést na tzv. integrál dvojnásobný, tj. dva jednoduché integrály.

Dvojný integrál na obdélníkuEditovat

 
Obdélník definovaný jako  

Nejjednodušší rovinná oblast pro výpočet integrálu je obdélník. Obdélník lze definovat pomocí tzv. dvourozměrného intervalu ve tvaru  , kde   je interval mezi dvěma body na ose   a   na ose  . Jedná se tedy o kartézský součin dvou intervalů. Říkáme tedy přímo, odkud kam jdu na obou osách.

Dvojný integrál na obdélníku spočítáme tak, že jej přepíšeme na dvojnásobný integrál, kde hranice jednotlivých integrálů budou podle intervalů popisujících obdélník. Na obdélníku nezáleží na pořadí jednotlivých hranic, ale musíme ve správném pořadí napsat   a  .

Dvojný intergál na oblasti   tedy spočítáme jako

 

U integrálu, jehož hranice popisují osu  , je třeba napsat  . Stejně je tomu i u osy  .

Dvojný integrál na libovolné oblastiEditovat

 
Plocha mezi křivkami funkcí   a  

Dvojný integrál na libovolné oblasti se spočítá pomocí tzv. Fubiniovy věty. Ta nám říká, že dvojný integrál lze rozepsat na dva jednoduché integrály, jejichž hranicemi budou funkce. Je ale nutno dodržet, že vnější integrál bude mít jako hranice číselné hodnoty, jinak by nakonec nevyšlo číslo, ale nějaká funkce.

Pro oblast   platí, že

 

kde   a   omezují osu  . Opět je nutno dodržet správné pořadí   a   – popisuje-li integrál osu  , musí u něj být  , a naopak. Stejně by šlo nadefinovat Fubiniovu větu i pro funkce, jejichž definičním oborem je osa   a oborem hodnot osa  .

Pro oblast   s omezením na ose   body   a   platí, že

 

PříkladEditovat

Dvojný integrál na oblasti mezi křivkami   a   (viz obrázek) z funkce  . Oblast je na ose   ohraničena těmito dvěma křivkami. Na ose   jde od 0 do 2. Dvojný integrál by se tedy rozepsal na dvojnásobný například takto:

 

DefiniceEditovat

Na obdélníkuEditovat

 
Obdélníková integrační oblast na definičním oboru funkce dvou proměnných rozdělená na   menších obdélníků

Podobně jako integrál jednoduchý se dvojný integrál definuje jako rozdělení objemu pod prostorovou křivkou na nekonečně malé segmenty. Definiční obor se rozdělí na několik menších obdélníků a nad nimi následně počítáme přibližný objem. Objem pod celou křivkou se tedy rozdělí na několik malých kvádrů, jejichž objem už spočítáme jednoduše. Když sečteme objemy všech těchto kvádrů, dostaneme přibližný objem právě pod křivkou té funkce.

Obdélník se na ose   rozdělí na   sloupců a na ose   na   řádků. Objem kvádru na jednom obdélníčku spočítáme tak, že vynásobíme jeho strany, tedy jako  .

Hodnotu na ose   určíme dvěma způsoby:

  • Horní součet – za   dosazujeme nejvyšší možnou hodnotu, které funkce nabývá na daném obdélníčku. Víme, že horní součet bude určitě větší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou.
  • Spodní součet – za   dosazujeme nejnižší možnou hodnotu, které funkce nabývá na daném obdélníčku. Víme, že spodní součet bude určitě menší nebo roven přesnému objemu pod prostorovou křivkou.

Jestliže minimální hodnotu označíme   a maximální  , pak platí, že

 

 

kde   označuje jeden obdélníček.

Součet objemu všech kvádrů nad obdélníčky zapíšeme jako

 

 

kde   značí spodní součet,   součet horní a   způsob dělení obdélníku. Z definice víme, že pro integrál na původním obdélníku   platí, že

 

Na čím menší dílky původní obdélník rozdělím, tím přesněji budou naše kvádry opisovat tvar té prostorové křivky. Když tedy rozdělíme obdélník na nekonečno malých dílků, dostaneme přesně ten objem.

 

Na libovolné oblastiEditovat

Nechť   je charakteristickou funkcí množiny  . Pak platí, že

 

Omezená množina   je Jordanovsky měřitelná množina, pokud pro ni existuje nějaký obdélník   takový, že   je integrovatelná na obdélníku  .

Mějme Jordanovsky měřitelnou množinu   a ohraničenou funkci  . Pak je funkce   integrovatelná na množině  , pokud je pro nějaký obdélník   integrovatelná funkce

 

na obdélníku  . Potom platí, že

 

VlastnostiEditovat

 

 

Pokud je míra množiny   nula, pak i  .

Pokud   a míra množiny   je nula, pak  .

Transformace dvojného integráluEditovat

Dvojné intergály můžeme transformovat za účelem zjednodušení jejich hranic (ne integrované funkce). Transformaci provedeme tak, že za   a   dosadíme nějaké dvě funkce v jiných dvou proměnných. Následně tyto funkce dosadíme do integrálu a přepočítáme hranice. Abychom mohli integrovat podle těchto nových proměnných, musíme vnitřek integrálu vynásobit absolutní hodnotou tzv. jakobiánu.

 

Jakobián funkce 2 proměnných spočítáme jako determinant 2×2 takto:

 

kde   jsou parciální derivace těchto funkcí.

DilataceEditovat

Dilatace je natažení nebo smrštění, tedy něco jako změna měřítka grafu. Za každou z proměnných dosadím nějaký násobek nových proměnných.

 

jelikož jakobián vyjde  .

PosunutíEditovat

Posunutí je transformace, kdy se každá proměnná pouze posune o určitou hodnotu. Jakobián vyjde 1.

Polární souřadniceEditovat

 
Polární souřadnice

Polární souřadnice jsou typickou transformací, počítáme-li integrál na nějaké části kruhu. Dokáží hranice zjednodušit opravdu hodně. Bod polárními souřadnicemi popíšeme jako vzdálenost od počátku (zpravidla označujeme  ) a úhel (označujeme  ) – viz obrázek. Z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici lze vyvodit, že

 

 

  je nějaká nezáporná hodnota a   je nějaký úhel od 0 do 360°, tedy 2π. Jakobián vyjde

 

Jelikož   je nezáporné, absolutní hodnota z jakobiánu je jen  .

Při přepisu na dvojnásobný integrál se jako hranice uvede právě úhel   a poloměr  . Například integrál na kruhu s poloměrem  :

 

Kde   a  . Jelikož přímo říkám, odkud kam která proměnná jde, jedná se o integrál na obdélníku.

 

Polární souřadnice samozřejmě lze zobecnit na libovolně protaženou či smrštěnou kružnici (tedy elipsu) nebo na kružnici, která nemá střed v počátku, tak, že v jednom kroku aplikuji jak transformaci do polárních souřadnic, tak dilataci a posunutí:

 

 

VyužitíEditovat

Pomocí dvojného integrálu se kromě objemu pod prostorovou křivkou dá spočítat i obsah rovinného obrazce. Počítáme-li integrál z nějaké funkce na nějaké oblasti, znamená to, že danou oblast vytáhneme do výšky, dokud nedosáhne naší funkce. Když takto vytáhneme rovinný útvar do výšky 1, jeho obsah bude shodný s objemem takto vytvořeného tělesa (samozřejmě se budou lišit jednotky). Obsah   rovinné oblasti   tedy spočítáme jako

 

Také můžeme pomocí dvojných integrálů spočítat povrch prostorové křivky. Pro výpočet povrchu   prostorové křivky funkce   na oblasti   platí následující vztah:

 

kde   je parciální defivace funkce   podle   a   je parciální derivace   podle  .

Související článkyEditovat