Vícerozměrný integrál

určitý integrál přes nějakou (vícerozměrnou) oblast funkce více proměnných

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se , kde funkce se nazývá integrand[1] a je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.[pozn. 1]

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice editovat

Motivace editovat

 
Dvojný integrál jako objem pod plochou.

Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku editovat

Pro   mějme funkci  .

Rozdělíme-li každý z intervalů   na konečnou množinu disjunktních podintervalů  , získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů  , pro které platí  .

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce  ) na intervalu   můžeme aproximovat Riemannovým součtem:

 ,

kdeXk jje prvek intervalu Ik and σ(Ik) je míra intervalu Ik (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů  ) .

Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu I na podintervaly míry maximálně δ:

 .[3]

Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se

 .

Na měřitelné množině editovat

Buď funkce   omezená na neprázdné měřitelné množině  . Řekneme, že funkce   je na množině   (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce   definovaná předpisem  [pozn. 2]

integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu   takovém, že  .

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce   na množině   pak rozumíme číslo  .[4][pozn. 3]

Pro prázdnou množinu definujeme   pro každou funkci  .[4]

Speciální případy editovat

V případě, že  , tak   se nazývá dvojný integrál funkce f na M, dále pro   je   trojný integrál funkce f na M.

Vlastnosti editovat

Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál. Mezi nimi linearitu, komutativitu.

Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta.

Podmínky integrovatelnosti editovat

Je-li funkce   spojitá v uzavřeném intervalu  , pak existuje  .[5]

Aplikace editovat

Podrobnější informace naleznete v článku Aplikace integrálu.

Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště. Dále například výpočet energie fyzikálního pole.

Poznámky editovat

  1. Příkladem budiž funkce . Její dvojnásobné integrály   a  jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.[2]
  2.   je definována v celém  .[4]
  3. Tato definice nezávisí na volbě intervalu   takového, že  .[4]

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.

  1. MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online. 
  2. Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online. 
  3. RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-07-054235-8. (anglicky) 
  4. a b c d VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online. 
  5. VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5. 

Související články editovat