Vícerozměrný integrál

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$ , kde funkce $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ se nazývá integrand^[1] a $\mathbf {M} \subset \mathbb {R}$ je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na $\int _{\mathbf {M} }\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .$

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.^{[pozn. 1]}

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice

Motivace

Dvojný integrál jako objem pod plochou.

Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku

Pro $n>1$ mějme funkci $f:\mathbf {I} =\left\langle a_{1},b_{1}\right\rangle \times \left\langle a_{2},b_{2}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n},b_{n}\right\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{+}$ .

Rozdělíme-li každý z intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$ na konečnou množinu disjunktních podintervalů $\left\langle a_{i,j},b_{i,j}\right\rangle$ , získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů $\mathbf {I} _{j}=\left\langle a_{1,j},b_{1,j}\right\rangle \times \left\langle a_{2,j},b_{2,j}\right\rangle \times \cdots \times \left\langle a_{n,j},b_{n,j}\right\rangle$ , pro které platí $I=I_{1}\cup I_{2}\cup \cdots \cup I_{m}$ .

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce $f$ ) na intervalu $I\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ můžeme aproximovat Riemannovým součtem:

\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (I_{k})

,

kde $X k$ jje prvek intervalu $I k$ and $σ(I k)$ je míra intervalu $I k$ (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů $\left\langle a_{i},b_{i}\right\rangle$ ) .

Řekneme, že funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu $I$ na podintervaly míry maximálně $δ$ :

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(X_{k})\,\operatorname {\sigma } (C_{k})$ .^[3]

Jestliže je $f$ is Riemannovsky integrovatelná, tak $S$ se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce $f$ na intervalu $I$ a píše se

\int \cdots \int _{I}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

.

Na měřitelné množině

Buď funkce $f$ omezená na neprázdné měřitelné množině $\mathbf {M} \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ . Řekneme, že funkce $f$ je na množině $\mathbf {M}$ (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce $\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }$ definovaná předpisem $\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\begin{cases}f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right),&{\mbox{pro }}x\in \mathbf {M} \\0,&{\mbox{pro }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbf {M} \end{cases}}$ ^{[pozn. 2]}

integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu $\mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ takovém, že $\mathbf {M} \subseteq \mathbf {J}$ .

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce $f$ na množině $\mathbf {M}$ pak rozumíme číslo $\int \cdots \int _{\mathbf {M} }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{\mathbf {J} }\,\left(\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }\right)f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$ .^[4] ^{[pozn. 3]}

Pro prázdnou množinu definujeme $\int \cdots \int _{\emptyset }\,f\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}=0$ pro každou funkci $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .^[4]

Speciální případy

V případě, že $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ , tak $\iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy$ se nazývá dvojný integrál funkce $f$ na $M$ , dále pro $M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ je $\iiint _{M}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ trojný integrál funkce $f$ na $M$ .

Vlastnosti

Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál. Mezi nimi linearitu, komutativitu.

Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta.

Podmínky integrovatelnosti

Je-li funkce $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ spojitá v uzavřeném intervalu $\mathbf {J} \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , pak existuje $\iint _{M}f(x,y)\,dx\,dy$ .^[5]

Aplikace

Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště. Dále například výpočet energie fyzikálního pole.

Poznámky

↑ Příkladem budiž funkce $f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$ . Její dvojnásobné integrály $\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}$ a $\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}$ jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.^[2]
↑ $\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }$ je definována v celém $\mathbb {R} ^{n}$ .^[4]
↑ Tato definice nezávisí na volbě intervalu $\mathbf {J}$ takového, že $\mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} ^{n}$ .^[4]

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.

↑ MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online.
↑ Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online.
↑ RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-07-054235-8.
↑ ^a ^b ^c ^d VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online.
↑ VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.

Související články

[3] Příkladem budiž funkce $f(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$ . Její dvojnásobné integrály $\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}$ a $\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}$ jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná.^[2]

[6] $\mathbf {M} \cdot \chi _{\mathbf {M} }$ je definována v celém $\mathbb {R} ^{n}$ .^[4]

[7] Tato definice nezávisí na volbě intervalu $\mathbf {J}$ takového, že $\mathbf {M} \subseteq \mathbf {J} ^{n}$ .^[4]

[1] MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online.

[2] Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online.

[4] RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-07-054235-8.

[:0-5] VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online.

[na_int-8] VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.

[1]

[pozn. 1]

[3]

[pozn. 2]

[4]

[pozn. 3]

[5]

[2]