Riemannův integrál

Riemannův integrál je nejjednodušší druh integrálu v matematice. Jeho základní myšlenka byla známa již starým Řekům, kteří jejím užitím dokázali počítat obsahy a objemy některých geometrických objektů (například jehlanu, kužele či koule). Pojmenován byl po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi. Klasická definice umožňuje jeho použití pouze na reálné ose. Existují sice některá jeho zobecnění, která lze aplikovat i na vícerozměrné případy, v těchto oblastech však byl Riemannův integrál překonán a téměř zcela nahrazen integrálem Lebesgueovým.

Pokud existuje Riemannův integrál funkce , pak o funkci říkáme, že je integrovatelná v Riemannově smyslu nebo též riemannovsky integrovatelná.

MotivaceEditovat

 
Plocha pod grafem funkce
 
Pokrytí celé plochy obdélníky pro horní součet
 
Vložení obdélníků do plochy pro dolní součet

Definice Riemannova integrálu vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce. Chceme-li přibližně zjistit tento obsah, provedeme to v praxi pravděpodobně tak, že položíme do měřené plochy nějaké geometrické útvary, jejichž obsah dovedeme spočíst, tak, aby nepřesahovaly hranici měřené oblasti a vzájemně se nepřekrývaly. Sečteme-li nyní obsahy všech vložených útvarů, dostaneme zřejmě číslo, které je menší než obsah měřené plochy — tzv. dolní odhad. Obdobně (pokrytím celé měřené plochy známými útvary) získáme tzv. horní odhad. Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Budeme-li používat k vykládání plochy stále menší a menší útvary, dokážeme oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při vyložení plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary dostaneme horní i dolní odhad roven stejnému číslu — obsahu měřené plochy. Pro jednoduchost se při zavádění Riemannova integrálu používají za ony útvary, jimiž se plocha vykládá, obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami soustavy souřadnic.

Přesná definiceEditovat

Uvedeme dvě definice Riemannova integrálu. První definice pochází od Bernharda Riemanna. Druhá definice pochází od Gastona Darbouxe. Obě definice jsou ekvivalentní. To znamená, že funkce je integrovatelná podle Darbouxovy definice, právě když je integrovatelná podle Riemannovy definice a hodnota integrálu podle obou definic je shodná. Z Darbouxovy definice lze snadněji odvodit některé důležité vlastnosti Riemannova integrálu, proto se v literatuře vyskytuje častěji. Darbouxova definice vychází z úvahy naznačené v motivaci.
Obě definice využívají pojem dělení intervalu definovaný takto:

  • Dělením   intervalu   nazýváme (n+1)-tici   takovou, že  .

Riemannova definiceEditovat

  • Dělením intervalu   s body nazýváme dvojici  , kde   je dělením intervalu   a   je n-tice  . Platí   pro  .
  • Riemannovu sumu funkce   na intervalu   s dělením s body   definujeme jako

 

  • Normu dělení   definujeme takto:  . Normou dělení   tedy rozumíme délku nejdelšího intervalu v  .
  • Řekneme, že funkce   má na intervalu   Riemannův integrál  , pokud pro každé   existuje   takové, že pro každé dělení intervalu   s body   platí, že

 .
Pokud takové   existuje, píšeme  .

  • Zápis můžeme zjednodušit použitím limity  .

Darbouxova definiceEditovat

V definici jsou využity pojmy supremum a infimum. V souladu s tím, co bylo řečeno v motivaci, definujeme horní a dolní Riemannův integrál takto:

  • Horní součet pro funkci   a dělení   intervalu   definujeme jako
 .
  • Horní Riemannův integrál funkce   od   do   definujeme takto:
 .
  • Dolní součet pro funkci   a dělení   intervalu   definujeme jako
 .
  • Konečně dolní Riemannův integrál funkce   od   do   definujeme takto:
 .

Dále opět v souladu s motivací definujeme Riemannův integrál funkce f od a do b jako společnou hodnotu dolního a horního Riemannova integrálu, pokud se tyto integrály rovnají. Pokud se dolní a horní Riemannův integrál od sebe liší, říkáme, že Riemannův integrál funkce f neexistuje. Jestliže tedy existuje Riemannův integrál, tak platí

 .

VlastnostiEditovat

  • Mějme funkce   integrovatelné na intervalu  . Pak platí
 ,
kde   jsou konstanty. Na daném intervalu je tedy integrovatelná také funkce  .
  • Integrovatelná je také funkce  , přičemž platí
 .
  • Také funkce   je integrovatelná, avšak
 .
Pokud je funkce   na intervalu   kladná a zdola ohraničená nebo záporná a shora ohraničená, tedy  , pak je integrovatelná také funkce  .
  • Zvolíme-li na intervalu   bod   takový, že  , pak lze psát
 .
  • Vzájemná záměna mezí intervalu, na němž integrujeme, vede ke změně znaménka integrálu, tzn.
 .
  • Pokud pro všechna   platí  , pak
 .
Pokud navíc alespoň v jednom bodě  , v němž je funkce   spojitá, platí také  , pak
 .
  • Je-li funkce   na intervalu   spojitá a současně platí  , pak v celém intervalu   platí  .
  • Je-li na intervalu    , pak platí také
 .
  • Je-li na intervalu   funkce   omezená, tzn.  , kde   jsou konstanty, a funkce  , pak platí nerovnosti
 .
  • Funkce  , které jsou spojité na  , splňují tzv. Schwarzovu nerovnost
 .
  • Můžeme definovat funkci   proměnné   vztahem
 .
Funkce   je spojitou funkcí proměnné   a v každém bodě, v němž je   spojitá, má   derivaci, přičemž platí
 .
  • Podobně lze definovat funkci
 ,
pro jejíž derivaci dostaneme
 .
  • Pokud je funkce   pro všechny body  , pak hodnota integrálu   je rovna obsahu plochy, jejíž obvod tvoří osy  , funkce   a rovnoběžky s osou  , které mají rovnice  .
Je-li např. na intervalu     a na intervalu    , pak plocha obrazce ohraničeného křivkou   není rovna hodnotě integrálu  , ale součtu integrálů  .
  • Je-li funkce   spojitá na   a   je na tomto intervalu její libovolná primitivní funkce, pak platí (viz Newtonův integrál)
 .

Související článkyEditovat