Jednotková kružnice

Jednotková kružnice je kružnice se středem v počátku souřadnic a o poloměru 1 používaná v matematice pro definici např. goniometrických funkcí. Jejím zobecněním do vyšších rozměrů je jednotková koule.

Jednotková kružnice: sinus, cosinus a tangens

Jednotková kružnice s hodnotami (cos φ, sin φ)

Goniometrické funkce

Výhoda jednotkové kružnice spočívá v tom, že goniometrické funkce jsou definovány poměry a číslo 1 se v poměrech neprojevuje (1 * a = a) nebo vytváří nepřímou úměrnost (1/a). Neprojeví se ani souřadnice jejího středu, protože leží v počátku [0,0]. Její rovnice je tudíž velice jednoduchá:

x² + y² = 1

Souřadnice bodů na jednotkové kružnici pak přímo udávají hodnoty funkcí sin a cos pro úhly, které jejich průvodiče svírají s kladnou poloosou x: x = cos φ a y = sin φ. Protože absolutní hodnoty těchto funkcí se po 180° opakují a pro úhly φ z intervalu 90-180° platí, že f(φ)=f(180°-φ), stačí je tabelovat jen pro interval 0-90° a jejich znaménka pak udává následující tabulka:

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Periodičnost

Na jednotkové kružnici lze také sledovat tzv. periodu: bod A může po kružnici obíhat zcela libovolně, a to i několikrát, takže jeho průvodič (polopřímkaSA) může s kladnou poloosou x svírat nekonečně mnoho úhlů, jež se od sebe liší o 2π čili o 360⁰. Tak se s polopřímkou svírající s kladnou poloosou x úhel ${\frac {\pi }{3}}$ (tj. 60°) budou překrývat i polopřímky s úhly ${\frac {7\pi }{3}}$ (420°), ${\frac {13\pi }{3}}$ (780°), $-{\frac {5\pi }{3}}$ (-300°) nebo $-{\frac {13\pi }{3}}$ (-780°). Na tom se zakládá periodičnost goniometrických funkcí.

Odkazy

Související články

• Kvadrant (geometrie)
• Goniometrická funkce
• Trigonometrie
• Jednotková koule

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Jednotková kružnice na Wikimedia Commons

Portály: Matematika