Operátor

(přesměrováno z Operátor identity)
Tento článek je o matematickém pojmu. Další významy jsou uvedeny na stránce Operátor (rozcestník).

Operátor je v matematice takové zobrazení, které prvku nějakého prostoru (například funkci) f přiřazuje prvek jiného prostoru g, tedy

,

kde . Působením operátoru na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor , zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor se obvykle značí stříškou, například , apod.

Prvek se nazývá vzor (originál), prvek obrazem.

Množina všech , které přísluší všem , tedy množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru . Obvykle se značí . Pokud operátor není definován pro všechna , pak se množina těch , pro které definován, nazývá definičním oborem operátoru.

Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje symbol nějaké matematické transformace, například znaménko + jako symbol přičítání.

FunkcionálEditovat

Pokud je   množina reálných, případně komplexních čísel, takže proměnná g je reálné či komplexní číslo, pak se operátor   nazývá (reálný či komplexní) funkcionál.

Vybrané druhy operátorůEditovat

Lineární operátorEditovat

Lineární operátor   je takový operátor, pro který platí

 

kde   jsou libovolné funkce a   jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru   stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty   a libovolné vektory   takové, že   a  , pak platí

 

Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.

Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:

1)  (x+y) =  (x) +  (y),

2)  (cx) = c  (x), kde c je konstanta.

Lineárním operátorem   je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.

Antilineární operátorEditovat

Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí

 ,

kde   jsou libovolné funkce a   jsou koeficienty komplexně sdružené k  .

Operátor identityEditovat

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor)  , pro který platí

 

Působením operátoru identity   tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátoryEditovat

Pokud pro dva operátory   z X do Y platí   pro každé  , pak jsou oba operátory totožné.

Spojitý operátorEditovat

Operátor   se nazývá spojitý v bodě  , jestliže pro každou posloupnost prvků   z  , pro kterou v prostoru   platí  , platí také  , tzn.  , v prostoru  .

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě  , je spojitý v každém bodě  .

Omezený operátorEditovat

Operátor   je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové   (nezávislé na f), že pro každé   platí

 ,

kde   je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a   je norma prvku   v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel   operátoru   představuje normu operátoru  , tzn.

 

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel   pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

 

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Sdružený operátor.
Podrobnější informace naleznete v článku Hermitovský operátor.

Operátor   se označuje jako symetrický, jestliže platí

 

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor se označuje jako hermiteovský.

Operátor   se označuje jako antihermiteovský, je-li operátor   hermiteovský.

K operátoru   existuje sdružený operátor  , který splňuje vztah

 

neboli

 

Platí vztahy

 
 
 
 
 

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

 

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor   je pozitivní, když pro každé   platí

 

Operátor se označuje jako normální, když platí

 ,

kde   označují komutátor.

Inverzní operátorEditovat

Operátor   je inverzním operátorem k  , pokud platí

 ,

kde   představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

 
 

Unitární operátorEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Unitární operátor.

Operátor   je unitární, pokud platí

 

neboli

 ,

kde   je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor   platí

 

Jestliže operátor   splňuje vztah

 ,

pak operátor   označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah  , avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být  .

Projekční operátorEditovat

Omezený operátor   se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky

 

Je-li   projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

 ,

kde   představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

 
 

Je-li   vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na   lze vyjádřit jako

 

Jestliže množina vektorů   tvoří ortonormální bázi podprostoru  , pak projekční operátor do   vyjádříme jako

 

Pokud je  , pak je projekční operátor operátorem identity, takže

 

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátoryEditovat

Součtem dvou operátorů   vznikne operátor  , pro který platí

 

Operátor   označíme jako součin operátorů   a  , tzn.  , pokud pro každé u platí

 

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například  .

Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory   neplatí  . Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů  , zavádíme tzv. komutátor operátorů

 

Dva nekomutativní operátory   splňují pro některé u vztah

 

Dva komutativní operátory   splňují pro libovolné u vztah

 

Jsou-li lineární hermiteovské operátory   komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory   komutují, tedy  , pak pro libovolné funkce f, g platí

 

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

 

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

 
 
 
 
 
 
 
 

Platí také Jacobiho identita

 

PříkladEditovat

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor  , který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor  . Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f vyjde  .

PoužitíEditovat

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programůprogramovacích jazycích.

AritaEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Arita operace.

Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru:

  1. unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru).
  2. binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. Například: +-*^
  3. ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.

Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...

Související článkyEditovat