Vícerozměrná náhodná proměnná

seznam matematických proměnných, jehož žádná hodnota není známa
(přesměrováno z Náhodný vektor)

Vícerozměrná náhodná proměnná nebo náhodný vektor je v teorii pravděpodobnosti a statistice seznam matematických proměnných, jehož žádná hodnota není známa, buď protože zatím nebyla pozorována, nebo protože její hodnotu neznáme přesně. Jednotlivé proměnné jsou sdružené v náhodném vektoru, protože tvoří části jednoho matematického systému – často reprezentují různé vlastnosti určité statistické jednotky. Pokud například chceme zachytit, že každá osoba má určitý věk, výšku a hmotnost, lze tyto vlastnosti blíže neurčené osoby z určité skupiny reprezentovat náhodným vektorem. Prvky náhodných vektorů jsou obvykle reálná čísla.

Náhodné vektory se často používají jako podkladová implementace různých typů agregátů náhodných proměnných, například náhodných matic, náhodných stromů, náhodných posloupností, náhodných procesů apod.

Formálněji vícerozměrná náhodná proměnná je sloupcový vektor (nebo řádkový vektor, který je jeho transpozicí), jehož složkami jsou skalární náhodné proměnné, všechny na stejném pravděpodobnostním prostoru , kde je prostor elementárních jevů, je sigma algebra (kolekce všech událostí) a je pravděpodobnostní míra (funkce vracející pravděpodobnost každé události).

Pravděpodobnost rozděleníEditovat

Hodnoty náhodného vektoru vytváří pravděpodobnostní míru na   s borelovskou algebrou jako podkladovou sigma-algebrou, která definuje sdružené rozdělení pravděpodobnosti, sdružené rozdělení nebo vícerozměrné rozdělení náhodného vektoru.

Rozdělení pravděpodobnosti každé složky náhodného vektoru   se nazývají marginální rozdělení. Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti   pro dané   je rozdělení pravděpodobnosti  , je-li   známé, aby byla určitý hodnota.

Distribuční funkce   náhodného vektoru   je definována jako[1]: s. 15

 

 

 

 

 

(1)

kde  .

Operace s náhodnými vektoryEditovat

S náhodnými vektory lze provádět stejné algebraické operace jako s obyčejnými vektory: sčítání, odčítání, násobení skalárem a skalární součin.

Afinní transformaceEditovat

Podobně nový náhodný vektor   lze definovat aplikací afinní transformace   na náhodný vektor  :

 , kde   je matice   a   je sloupcový vektor  .

Pokud   je invertovatelná matice a   má hustotu pravděpodobnosti  , pak hustota pravděpodobnosti   je

 .

Invertovatelná zobrazeníEditovat

Obecněji můžeme studovat invertovatelná zobrazení náhodných vektorů.[2]: s. 290–291

Nechť   je bijektivní zobrazení z otevřené podmnožiny   na podmnožinu  , nechť   má spojité parciální derivace v   a nechť Jacobián   není nulový v žádném bodě  . Předpokládejme, že reálný náhodný vektor   má hustotu pravděpodobnosti   a vyhovuje  . Pak náhodný vektor   má hustotu pravděpodobnosti

 

kde   označuje charakteristickou funkci a množina   označuje nosič  .

Střední hodnotaEditovat

Střední hodnota nebo očekávaná hodnota náhodného vektoru   je pevný vektor  , jehož prvky jsou střední hodnoty příslušné náhodné proměnné.[3]: s. 333

 

 

 

 

 

(2)

Kovariance a křížová kovarianceEditovat

DefiniceEditovat

Kovarianční matice (také nazývaná druhý centrální moment) náhodného vektoru   je matice,   jejíž prvek (i,j) je kovariance mezi i-tou a j-tou náhodnou proměnnou. Kovarianční matice je střední hodnota, prvek po prvku, matice   vypočítané jako  , kde horní index T je transpozice vektoru:[2]: s. 464[3]: s. 335

 

 

 

 

 

(3)

Rozšířením křížová kovarianční matice mezi dvěma náhodnými vektory   a   (  s   prvky a   s   prvky) je matice  [3]: s. 336

 

 

 

 

 

(4)

kde střední hodnota matice se opět bere po složkách. Prvek (i,j) je kovariance mezi i-tým prvkem   a j-tým prvkem  .

VlastnostiEditovat

Kovarianční matice je symetrická matice, tj.[2].: s. 466

 .

Kovarianční matice je kladně semidefinitní matice, i.e[2].: s. 465

 .

Křížová kovarianční matice   je transpozicí matice  , tj.

 .

NekorelovanostEditovat

Dva náhodné vektory   a   se nazývají nekorelované, pokud

 .

Jsou nekorelované právě tehdy, když jejich křížová kovarianční matice   je nulová.[3]: s. 337

Korelace a křížová korelaceEditovat

DefiniceEditovat

Autokorelační matice (také nazývaná druhý moment) náhodného vektoru   je matice  , jejíž prvek (i,j) je korelace mezi náhodnými proměnnými i th a j th. Korelační matice je očekávaná hodnota, prvek po prvku, matice   vypočítané jako  , kde horní index T znamená transpozici příslušného vektoru:[4]: s. 190[3]: s. 334

 

 

 

 

 

(5)

Rozšířením křížové korelační matice mezi dvěma náhodnými vektory   a   (  s   prvky a   s   prvky) je matice  

 

 

 

 

 

(6)

VlastnostiEditovat

Korelační matice má souvislost s kovarianční matice by

 .

Podobně pro křížová korelace matice a křížová kovarianční matice:

 

OrtogonalitaEditovat

Dva náhodné vektory stejné velikosti   a   se nazývají ortogonální, jestliže

 .

NezávislostEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Nezávislost (teorie pravděpodobnosti).

Dva náhodné vektory   a   se nazývají nezávislé, jestliže pro všechny   a  

 

kde   a   značí kumulativní rozdělení funkce   a   a  označuje jejich sdružené distribuční funkce. Nezávislost   a   se často značí  . Rozepsáno po složkách, o   a   říkáme, že jsou nezávislé, pokud pro všechny  

 .

Charakteristická funkceEditovat

Charakteristická funkce náhodného vektoru   s   složkami je funkce   které převádí každý vektor   na složitý rumber. je definovaný by[2]: s. 468

 .

Další vlastnostiEditovat

Střední kvadratická formaEditovat

Střední hodnotu kvadratické formy můžeme vyjádřit náhodným vektorem   takto:[5]: s. 170–171

 

kde   je kovarianční matice   a   je stopa matice – tj. součet prvků na její hlavní diagonále (shora zleva dolů doprava). Protože kvadratická forma je skalární, bude skalár i její střední hodnota.

Důkaz: Nechť   jsou náhodný vektor   s   a   a nechť   je nestochastická matice  .

Pak podle vzorce pro kovarianci, jestliže označíme   a  , vidíme, že:

 

Tudíž

 

nyní zbývá pouze ukázat, že

 

To je splněno díky tomu, že můžeme cyklicky permutovat matici bez změny konečného výsledku (např.:  ).

Vidíme, že

 

Protože

 

je skalár, pak

 

triviálně. Při použití permutace dostaneme:

 

a dosazením do původní formule dostaneme:

 

Střední hodnota součinu dvou různých kvadratických foremEditovat

Můžeme vzít střední hodnotu součinu ze dvou různý kvadratických forem náhodný vektor   ve vícerozměrném normálním rozdělení s nulovou střední hodnotou takto:[5]: s. stránky 162–176

 

kde opět   je kovarianční matice  . Opět, protože obě kvadratické formy jsou skaláry a tedy jejich součin je skalár, střední hodnota jejich součinu je také skalární.

AplikaceEditovat

Teorie portfoliaEditovat

V teorii portfolia ve finančnictví často slouží účelová funkce k výběru portfolia rizikového majetku tak, aby rozdělení výnosu náhodného portfolia mělo požadované vlastnosti. Můžeme například chtít vybrat výnos portfolia, který bude mít nejnižší rozptyl pro danou střední hodnotu. Náhodný vektor je zde vektor   náhodných výnosů z určitého majetku a výnos portfolia p (náhodná skalární hodnota) je skalárním součinem vektoru náhodných výnosů s vektorem w vah portfolia – části portfolia alokovaného na příslušný majetek. Protože p = wT , střední hodnota výnosu portfolia je wTE( ) a rozptyl výnosu portfolia bude wTCw, kde C je kovarianční matice  .

Teorie regreseEditovat

V teorii lineární regrese máme data z n pozorování závislé proměnné y a n pozorování každé z k nezávislých proměnných xj. Pozorování závislých proměnných jsou uspořádána do sloupcového vektoru y; pozorování každé nezávislé proměnné jsou uspořádána do sloupcových vektorů, které tvoří regresní matici X (neznamenající v tomto kontextu náhodný vektor) pozorování nezávislé proměnné. Pak následující regresní rovnice prohlásíme za popis procesu, který generoval data:

 

kde β je pevný, ale neznámý vektor k koeficientů odezvy a e je neznámý náhodný vektor odrážející náhodné vlivy na závislou proměnnou. Nějakou zvolenou technikou jako například pomocí obyčejných nejmenších čtverců dostaneme vektor  , který je odhadem β, pomocí něhož vypočítáme  , odhad vektoru e

 

Statistik pak musí analyzovat vlastnosti   a  , na které pohlížíme jako na náhodné vektory, protože náhodný výběr n pozorovaných případů způsobuje, že budou mít různé hodnoty.

Vektorová časová řadaEditovat

Vývoj náhodného vektoru k×1   v čase lze modelovat jako vektorovou autoregresi (VAR) takto:

 

kde vektor pozorování   o i period zpět se nazývá i-té zpoždění  , c je k × 1 vektor konstant, Ai je časově invariantní matice k × k a   je náhodný vektor k × 1 chybových členů.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multivariate random variable na anglické Wikipedii.

  1. GALLAGER, Robert G. Stochastic Processes Theory for Applications. [s.l.]: Cambridge University Press, 2013. ISBN 978-1-107-03975-9. 
  2. a b c d e LAPIDOTH, Amos. A foundation in Digital Communication. [s.l.]: Cambridge University Press, 2009. 
  3. a b c d e GUBNER, John A. Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. [s.l.]: Cambridge University Press, 2006. ISBN 978-0-521-86470-1. 
  4. PAPOULIS, Athanasius. Probability, Random variables and Stochastic processes. [s.l.]: McGraw-Hill, 1991. 
  5. a b KENDRICK, David. Stochastic Control for Economic Models. [s.l.]: McGraw-Hill, 1981.