Totálně omezený metrický prostor

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

• přirozené číslo n a soubor $A_{1},A_{2},A_{3},...A_{n}$ podmnožin množiny X, takový, že
  • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
  • každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

$\forall _{E}\;\exists _{n\in \mathbb {N} }\;\exists _{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\subseteq X}\left(S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\;{\mbox{a zároveň}}\;\forall _{i=1,\ldots ,n}\;\mathrm {velikost} (A_{i})\leq E\right).\!$

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor $M$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností $a_{i},\,b_{i}\,\!$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel $\left|a_{1}-b_{1}\right|,\,\left|a_{2}-b_{2}\right|\dots \,\!$.

Uvažme množinu $A\subseteq M$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor $M$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina $A$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek $A$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro $\epsilon =1\,\!$ existovala konečná $\epsilon$-síť $S$, jejíž prvky můžeme označit $S(1),S(2),\dots S(m)\,\!$, kde $m$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost $c_{n}\,\!$, definovanou takto:

• $c_{i}=-2\,\!$, pokud $i\leq m\,\!$ a $S(i)_{i}\geq 0\,\!$
• $c_{i}=\,2\,\!$, pokud $i\leq m\,\!$ a $S(i)_{i}<0\,\!$
• $c_{i}=0\,\!$, pokud $i>m\,\!$

Symbol $S(i)_{i}$ značí $i$-tý prvek $i$-té posloupnosti v množině $S$. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost $c_{n}$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti $S(i)\,\!$, čehož dosáhneme tak, že pro každé $i$ vhodnou volbou $c_{i}$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti $S(i)$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek $S(j)$ má od posloupnosti $c_{n}\,\!$ vzdálenost menší, než 1. Z definice $c_{n}\,\!$ však plyne, že číslo $S(j)_{j}$ je od čísla $c_{j}$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.

Související články

• Kompaktní množina
• Metrický prostor