Otevřít hlavní menu

Řada (matematika)

posloupnost částečných součtů dané posloupnosti
(přesměrováno z Nekonečná řada)

Řada (také nekonečná řada) je matematický výraz ve tvaru , kde je nějaká posloupnost.

Pokud jsou členy řady tvořeny čísly, tzn. každý člen závisí pouze na svém pořadovém čísle , pak hovoříme o číselných řadách (řadách s konstantními členy). Každý prvek řady však může záviset nejen na svém pořadovém čísle , ale také na dalších parametrech. Takové řady označujeme jako funkční (popř. také funkcionální). Funkční řada je řada, jejímiž členy jsou funkce. Funkční řadu, kterou získáme z funkční posloupnosti , vyjadřuje výraz

pro , kde je vzájemný průnik definičních oborů funkcí .

Zvolíme-li libovolné , pak získáme číselnou řadu .

Obsah

Součet řadyEditovat

Z posloupnosti   lze vytvořit novou posloupnost  , jejíž členy jsou určeny jako  , tedy (konečný) součet prvních n prvků posloupnosti  . Posloupnost   označujeme jako posloupnost částečných součtů nebo sumaci řady  . Člen   této posloupnosti se nazývá  -tým částečným součtem nekonečné řady.

Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako

 .

Termín „řada“ bývá v některých případech ztotožňován s tímto součtem.

Konvergence řadyEditovat

Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn.

 ,

pak říkáme, že řada je konvergentní (např.  ), popř. bodově konvergentní v případě funkční řady. Pokud uvedená limita neexistuje (např.   - posloupnost částečných součtů je oscilující) nebo je nevlastní, tzn.   (např.  ), pak říkáme, že řada je divergentní.

Pro číselné řady je součtem řady číslo. Pro funkční řady je součtem řady funkce  .

Řada   komplexních čísel  , kde   jsou reálná čísla pro  , je konvergentní tehdy a jen tehdy, konvergují-li obě řady   a  .

Pokud   a  , pak

 

Konverguje-li řada  , pak konverguje také řada  . Jestliže konverguje řada  , pak konverguje také řada, kterou z této řady získáme přidáním nebo odebráním konečného počtu členů. Pokud řada   diverguje, pak bude divergentní také řada, která vznikne z této řady přidáním nebo odebráním konečného počtu členů.

U funkčních řad   označujeme množinu   všech  , pro která je daná řada konvergentní, jako obor konvergence dané řady.

Absolutní konvergenceEditovat

Pokud konverguje řada  , ale nekonverguje řada  , říkáme, že řada   konverguje neabsolutně.

Pokud konverguje řada   i řada  , pak říkáme, že řada   konverguje absolutně.

Pro absolutně konvergentní řady platí komutativní, asociativní a distributivní zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.

Máme-li dvě absolutně konvergentní řady   se součty  , pak platí

 
 ,

kde  .

Stejnoměrná konvergenceEditovat

Řadu funkcí   označíme jako stejnoměrně konvergentní, pokud v uzavřené oblasti   komplexní roviny   existuje takové číslo   a k němu číslo  , že pro libovolné   a   platí  . Je-li   reálné, pak oblast   představuje interval.

Podmínky konvergenceEditovat

U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po  -tém součtu jako

 

Podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu   existuje takové  , že pro libovolné   platí nerovnost

 

Nutnou podmínkou konvergence řady   je

 

Pokud součet řady   vyjádříme ve tvaru  , kde   je  -tý částečný součet a   je zbytek řady po  -tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem

 

Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému   takové číslo  , že pro libovolná   platí

 

Kritéria konvergenceEditovat

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady   jejím  -tým částečným součtem  . U konvergentních řad se chyba  , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím   zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritériumEditovat

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy  , přičemž pro všechna   platí  . Řadu   označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě   a řadu   jako majorantní řadu (majorantu) k řadě  . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn.  , konverguje také minoranta, tedy  . Diverguje-li minoranta  , diverguje také majoranta, tedy  .

Podílové kritériumEditovat

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy   tehdy, existuje-li reálné číslo   takové, že pro každé   platí  . Pokud je  , pak řada diverguje.

Limitní podílové kritériumEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy   veličinu  , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada   konvergentní pro  , divergentní pro   a pro   může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritériumEditovat

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy   konverguje, pokud existuje reálné číslo   a pro každé   platí  . Pro případ   řada diverguje.

Limitní odmocninové kritériumEditovat

Pokud pro řadu s kladnými členy   zavedeme  , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro  , divergentní pro   a pro   může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritériumEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy   konvergentní tehdy, pokud existuje takové   a takové přirozené číslo  , že pro všechna   platí  .

Jestliže existuje   takové, že pro všechna   platí  , pak řada   diverguje.

limitní Raabeovo kritériumEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku D'Alembertovo kritérium.

Jestliže pro řadu s kladnými členy   zavedeme  , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro  , diverguje pro   a pro   může konvergovat i divergovat.

Integrální kritériumEditovat

Nechť   je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako  . Pokud ve funkci   nahradíme diskrétní proměnnou   spojitou proměnnou  , přičemž   bude spojitou a klesající funkcí na intervalu  , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada   konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál  . Pokud integrál   diverguje, pak diverguje také řada  .

Leibnizovo kritériumEditovat

Pro alternující řady, které zapíšeme jako  , kde  , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje   takové, že   (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň  .

Gaussovo kritériumEditovat

[1]Nechť   je kladná posloupnost, pro niž existují  , kladné   a omezená posloupnost   taková, že pro všechny   platí:

 
  • Když   nebo když   a  , pak řada   konverguje.
  • Když   nebo když   a  , pak řada   diverguje.

Dirichletovo kritériumEditovat

Nechť   je reálná posloupnost a   komplexní posloupnost, pro které platí:

  •   je od jistého indexu monotonní a  ;
  •   má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada   konverguje.

Abelovo kritériumEditovat

Nechť   je reálná posloupnost a   komplexní posloupnost, pro které platí:

  •   je monotonní a omezená;
  •   je konvergentní řada.

Pak řada   konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Přerovnání řadyEditovat

Operace sčítání v   je komutativní. Proto při sčítání konečného počtu čísel nezáleží na pořadí, v jakém jsou sčítány. Při nekonečně mnoha sčítancích tomu tak být nemusí.

Přerovnáním řady   podle   se nazývá řada  , kde   je bijekce  .

Pokud je řada   absolutně konvergentní, pak její každé přerovnání je také absolutně konvergentní řada a má stejný součet.

Riemannova větaEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Riemannova věta.

Je-li řada   neabsolutně konvergentní reálná řada, pak ke každému   existuje přerovnání  , jež má součet  . Rovněž existuje oscilující přerovnání  .

Důkaz: Označme K rozšířené reálné číslo rovné součtu kladných členů řady (je-li jich nekonečně mnoho, pak jej lze definovat jako součet řady s vynecháním nekladných členů nebo ekvivalentně jako supremum součtů konečných množin kladných členů). Podobně buď Z součet záporných členů řady.

Pak jsou jen tři možnosti:
a) K i Z jsou konečné, pak řada v každém přerovnání konverguje k číslu K+Z.
b) přesně jedno z nich je konečné, pak řada v každém přerovnání diverguje k tomu z nich, které je nekonečné
c) Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu s sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních n prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních n částečných součtů) nepřesáhne s. Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod s. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí věty o definici rekurzí.

Jelikož K i Z jsou nekonečné, neexistuje žádný index  , za nímž by již nedošlo ke změně směru. Z toho též plyne, že všechny členy původní řady budou vyčerpány, jedná se tedy skutečně o přerovnání.

Zbývá ukázat, že posloupnost částečných součtů konverguje k s. Pro libovolné ε>0 z definice konvergence existuje index   takový, že všechny členy původní řady, které jsou v absolutní hodnotě větší, než ε, jsou v novém přerovnání vyčerpány před  . Označme   nejbližší další index, kde došlo ke změně směru. Od tohoto indexu leží všechny částečné součty v intervalu (s-ε, s+ε), neboť jakmile je hodnota s překročena, dojde ihned ke změně směru. Přerovnaná řada tedy konverguje k s.

Oscilující řady lze zkonstruovat podobně, přičemž přesáhne-li částečný součet číslo 1, přidáváme záporné členy, dokud částečný součet neklesne pod -1, pak přidáváme kladné.

Násobení řadEditovat

Pro absolutně konvergentní řady   a   platí:

 

Césarovské součtyEditovat

Částečné součty:  

Označme:  

Řekneme, že řada je Césarovsky sumovatelná, pokud existuje  

Řadu označíme symbolem   pokud  [zdroj?]

Některé významné řadyEditovat

 

Obecně lze říci, že geometrická řada   konverguje právě tehdy, je-li  .

 .
 

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj.  , je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je harmonickým průměrem sousedních členů.

  • Řada s kladnými členy je taková řada  , jejíž všechny členy vyhovují podmínce  . Řada s kladnými členy má vždy součet.
  • Alternující řada je řada, jejíž členy pravidelně střídají znaménka. Jde tedy o řadu

 dy limitu

OdkazyEditovat