Riemannova věta

Je-li reálná řada neabsolutně konvergentní, pak ke každému existuje přerovnání takové, že . Rovněž existuje oscilující přerovnání této řady.

DůkazEditovat

  • Nejprve si uvědomme, že platí  , kde   značí kladnou část čísla  , tedy  ,   značí zápornou část tohoto čísla:  . Je tedy   a  . To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
  • Je-li  , pak přeskočím následující krok.
  • Najdu takové přirozené číslo  , pro které platí  . Tento součet označím  . Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu  .
  • Nyní najdu další přirozené číslo   takové, aby  . Tento součet označím   a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty   a   postupně blížit k požadovanému  .

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat