Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel
Prvních 30 dílčích součtů Riemannovy zeta funkce pro s = 1 a 2 (reálná čísla). To odpovídá harmonické řadě a řadě zavedené v Basilejském problému.
.
Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.
Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. , řada diverguje (její součet je plus nekonečno),
-
To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:
-
Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro tedy platí
-
To je vidět i pomocí určitého integrálu:
-
Přesněji platí zajímavý vztah
-
kde je Eulerova konstanta.
Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se
- .
Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen a .
- JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974.
- JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.