Harmonická řada

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

\left({1 \over n}\right)_{n=1}^{\infty }=1,\ {1 \over 2},\ {1 \over 3},\ \dots

.

VlastnostiEditovat

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. $\lim _{n\to \infty }{1 \over n}=0$ , řada diverguje (její součet je plus nekonečno),

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty .

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

s_{2^{n}}=\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}\geq 1+{\frac {1}{2}}+({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})+...+({\frac {1}{2^{n}}}+...+{\frac {1}{2^{n}}})=1+{\frac {n}{2}}.

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro $m=2^{n}$ tedy platí

s_{m}\geq 1+{1 \over 2}\log _{2}m.

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{n+1}\!{1 \over x}\,dx=\ln(n+1).

Přesněji platí zajímavý vztah

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\gamma ,

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

H_{n}=s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}

.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen $H_{1},H_{2}$ a $H_{6}(=2{,}45)$ .