Laminární proudění

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách – „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity.

Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které je potenciálové.

Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Ustálené proudění v úzké trubici editovat

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil editovat

Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění

Uvažujme v trubici o poloměru $r$ malý válec kapaliny o poloměru $x$ a délce $\Delta l$ . Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak $p_{1}$ a na výstupní průřez tlak $p_{2}$ . Tlakový rozdíl na délce $\Delta l$ má hodnotu $\Delta p=p_{1}-p_{2}$ . Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

F=\pi x^{2}\Delta p

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

F_{t}=2\pi x\Delta l\tau

,

kde $\tau$ je tečné napětí.

Při ustáleném proudění musí být $F$ a $F_{t}$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

\pi x^{2}\Delta p=-2\pi x\Delta l\eta {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

v=-{\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}x^{2}+k

,

kde $k$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. $v=0$ pro $x=r$ . Po dosazení úpravě dostaneme

v={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} l}}(r^{2}-x^{2})

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti $v$ na $x$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon editovat

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok $Q_{v}$ . Rychlost $v$ je v určité vzdálenosti $x$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti $x$ a šířce $\mathrm {d} x$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

\mathrm {d} Q_{v}=2\pi xv\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}(r^{2}-x^{2})x\mathrm {d} x

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

Q_{v}={\frac {\pi r^{4}}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskózní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu ${\frac {\Delta p}{\Delta l}}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě $\eta$ .

Maximální a průměrná rychlost proudění editovat

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

v_{\mbox{max}}={\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}

a nachází se na ose trubice ( $x=0$ ).

Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice ( $S=\pi r^{2}$ ), tzn.

v_{s}={\frac {Q_{v}}{S}}={\frac {1}{8\eta }}{\frac {\Delta p}{\Delta l}}r^{2}={\frac {1}{2}}v_{\mbox{max}}

Vlastnosti editovat

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.

O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body $A,B$ na ose trubice ve vzdálenosti $s$ a dva body $C,D$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že $D$ se nachází na stejném řezu trubicí jako $A$ a bod $C$ se nachází na stejném řezu jako $B$ . Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body $A,D$ a $B,C$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\oint v\mathrm {d} s=\int _{A}^{B}v\mathrm {d} s=v_{\mbox{max}}s

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že $\operatorname {rot} v$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé.

Tlakový spád ${\frac {\Delta p}{\Delta l}}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

F\sim {\frac {\Delta p}{\Delta l}}\sim v_{s}

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní.

Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články editovat

Externí odkazy editovat

Obrázky, zvuky či videa k tématu laminární proudění na Wikimedia Commons
Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)