Diskuse:Bodová konvergence

Předělání článků o konvergenci posloupnosti funkcí

Ahoj, nedávno jsem do článku Bodová konvergence přidal hodně textu a zkopíroval jsem ho i do článku Stejnoměrná konvergence.

Jelikož jsem ale zastáncem DRY (Don't Repeat Yourself), myslím si, že s takto nakopírovaným textem se bude obtížně dělat skoro cokoli: opravy, předělávky atd.

Proto navrhuji smazat článek Stejnoměrná konvergence a to málo, co má navíc oproti článku Bodová konvergence, přenést do něj. A článek Bodová konvergence pak přejmenovat na Konvergence posloupnosti funkcí (?? nebo jen Konvergence funkcí?) a upravit jeho úvod zhruba takto:

---

V matematice pojem posloupnost funkcí označuje posloupnost, jejímž členy jsou funkce. Pro každé přirozené číslo $n$ (tzv. index) je $n$-tým členem posloupnosti funkce. Nejtypičtější jsou posloupnosti funkcí na reálných číslech, tj. funkcí z $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$, které reálnému číslu přiřadí reálné číslo. Jejich studiu se věnuje obor matematická analýza.

Na posloupnostech funkcí se rozlišuje několik druhů konvergence – například posloupnost lineárních funkcí $f_{n}(x)=x/n$ konverguje k nulové funkci $f(x)=0$ bodově, ale ne stejnoměrně.

• Posloupnost funkcí $\{f_{n}\}$ konverguje bodově k funkci $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, pokud konverguje v každém bodě, tj. pro každé $\varepsilon >0$ a každé $x\in R$ existuje $n_{0}$ takové, že $f_{n}$ (a také $f_{n+1}$ atd.) se od $f$ v bodě $x$ liší o méně než $\varepsilon$.
• Posloupnost konverguje stejnoměrně, pokud platí tatáž podmínka a navíc pro každé $\varepsilon >0$ existuje uvedené $n_{0}$, jehož volba nezávisí na $x$.
• Konverguje skoro všude, pokud bodově konverguje v každém bodě kromě množiny tak malé, že její míra (např. Lebesgueova míra) je nulová.
• Konvergence řady funkcí: Tak jako zápis $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ je zkratka pro limitu posloupnosti částečných součtů, tj. $\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{j}$ – takže např. $\lim _{n\to \infty }2^{-n}=0$, ale $\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}=1$ – tak i $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$ je zkratka pro $\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)$. Tato posloupnost částečných (funkčních) součtů může konvergovat stejnoměrně, bodově, skoro všude apod.
• Konečně pro každou topologickou strukturu na množině funkcí lze hovořit o konvergenci podle této topologie, přičemž se nijak nevyužívá, že objekty konvergence jsou funkce. Jinými slovy: na množině funkcí, stejně jako na každé jiné množině, libovolná topologická struktura definuje konvergenci.

Tyto definice lze zobecnit na konvergenci funkcí z jakékoli množiny $X$ do vhodné množiny $Y$:

• Pro stejnoměrnou konvergenci je potřeba, aby $Y$ byl metrický prostor nebo alespoň uniformní prostor.
• Pro bodovou konvergenci postačí topologický prostor.
• Pro konvergenci skoro všude musí navíc být dáno, jaké podmnožiny $X$ jsou „malé“ (typicky tím, že X je prostor s mírou).
• Konvergence řady je studována především v Banachových prostorech, protože je tam k dispozici sčítání a metrika a všechny cauchyovské posloupnosti tam mají limitu.

---

Co si o tom prosím myslíte? --Pavel Jelínek (diskuse) 2. 12. 2024, 12:56 (CET)

• Zavést tam duplicitu byla chyba. Mělo to jít do třetího článku a tyto dva to jen krátce zmínit a odkazovat.
• Tady jsi napsal dost rozumné jádro toho třetího článku.
• Nemazat! Neslučovat! Ty pojmy se už tak pletou.

--Zagothal (diskuse) 2. 12. 2024, 16:13 (CET)

Celkově jsem příznivec více menších a monotématických článků. --Zagothal (diskuse) 2. 12. 2024, 16:17 (CET)

Ok, to dává smysl. Udělám to tak. Mohu pak úklid těch dvou původních článků nechat na Tobě? Sám můžu třeba smazat tu mnou vloženou duplicitu a nahradit stručným odkazem, ale dělat víc se mně nechce... --Pavel Jelínek (diskuse) 2. 12. 2024, 16:30 (CET)

OK. Já se teď rozkoukávám do dlouhé neaktivitě., ale tohle bych měl zvládnout. --Zagothal (diskuse) 2. 12. 2024, 16:55 (CET)

Jdu sestavit ten obecný článek u sebe. Kdo chce, může editovat tam. --Zagothal (diskuse) 4. 12. 2024, 14:34 (CET)

Počkej, prosím, já ho mám už rozepsaný. Pojďme se nějak domluvit... --Pavel Jelínek (diskuse) 4. 12. 2024, 16:51 (CET)

Anebo dobře. Ok, budu editovat tam. --Pavel Jelínek (diskuse) 4. 12. 2024, 16:52 (CET)

Kde to s měl rozdělané? --Zagothal (diskuse) 4. 12. 2024, 17:04 (CET)

Příprava ve Tvém uživ. protoru

Zagothale, Ty prosím myslíš, že není vhodné, aby tato kapitola byla celá v úvodu, tj. nad začátkem první kapitoly? Já to právě psal jako super-zhuštěný a zjednodušený nástin, aby se to do úvodu hodilo. --Pavel Jelínek (diskuse) 4. 12. 2024, 16:56 (CET)

Mám to jako druhou kapitolu. První bude definice samotné posloupnosti s nějakými příklady. Pak její vlastnosti a z nich první konvergence, kde použiji asi tu zhuštěnou verzi. Tak nějak bych to viděl. --Zagothal (diskuse) 4. 12. 2024, 17:07 (CET)