Otevřít hlavní menu

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

DefiniceEditovat

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor   nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou  , ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice   limitu.

PříkladyEditovat

  • Prostory   a   (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory   a   eukleidovskou normou
 ,
pro  , budou dokonce Hilbertovy.
  • Prostor všech spojitých funkcí   opatřený normou
 
je Banachův.
  • Vybavíme-li předchozí prostor normou
  nebo  ,
Banachův již nebude.
  • Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou
 
je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě  .

Související článkyEditovat