Jacobiho matice (třídiagonální)

Možná hledáte: Jacobiho matice a determinant, matici parciálních derivací vektorové funkce.

Jacobiho matice je reálná symetrická třídiagonální matice s kladnými prvky na první pod- a naddiagonále.

MaticeEditovat

Reálnou matici

 

nazýváme Jacobiho maticí.

Každou reálnou symetrickou matici  ,   lze převést ortogonální transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje ortogonální matice  ,   tak, že

 

kde   je Jacobiho matice.

Každou hermitovskou matici  ,   lze převést unitární transformací na Jacobiho matici. Tedy existuje unitární matice  ,   tak, že

 

kde   je (reálná) Jacobiho matice.

Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.

Vlastní číslaEditovat

Vlastní čísla Jacobiho matic jsou jednoduchá (mají násobnost jedna). Stačí si uvědomit, že matice   má, pro libovolné číslo  , nenulový poddeterminant

 

řádu  . Tedy  . Protože matice je symetrická odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Je-li tedy   vlastní číslo, musí mít násobnost jedna. Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit

 

Vlastní čísla dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic  ,   se striktně prokládají

 

Tedy charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají stejný kořen (což lze znadno dokázat sporem; rozvojem determinantu   podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice). Z toho dále vyplývá, že dvě po sobě jdoucí Jacobiho matice nemohou být singulární.

Vlastní vektoryEditovat

Je-li   vlastní číslo a vlastní vektor dané Jacobiho matice  ,

 

pak

  • první prvek vlastního vektoru je nenulový,  ,
  • poslední prvek vlastního vektoru je nenulový,  ,
  • libovolný dvouprvkový podvektor  ,  , je nenulový.

Všechna tři tvrzení lze opět snadno dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti

 

Pokud např. předpokládáme   pak z porovnání prvních prvků

 

plyne   (neboť  ). Indukcí dostaneme   což je ve sporu s  .

SouvislostiEditovat

Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací[1][2][3][4][5]

ReferenceEditovat

  1. W. Gautschi: Orthogonal Polynomials: Computation and Approximation, Oxford University Press, New York, 2004.
  2. G. H. Golub, G. Meurant: Matrices, Moments and Quadrature with Appliations, Princeton University Press, 2010.
  3. N. B. Parlett: The Symmetric Eigenvalue Problem, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1980.
  4. Z. Strakoš, J. Liesen: Krylov Subspace Methods: Principles and Analysis, Oxford University Press, Oxford, 2012.
  5. G. Teschl: "Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices", Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2