Gaussův zákon elektrostatiky
Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.
Formulace zákona
editovatGaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:
- Tok elektrické intenzity libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua .
Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako
Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah
Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.
Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.
Pokud uvažujeme uzavřenou plochu libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu , které obsahuje celkový náboj , který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah
Pokud se uvnitř plochy nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu , což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz
Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme
Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem , musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.
Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.
Gaussův zákon v dielektriku
editovatV dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce v integrálním tvaru jako
nebo v diferenciálním tvaru jako
V tomto tvaru má zákon obecnou platnost, tedy i pro proměnné elektromagnetické pole. Představuje jednu z Maxwellových rovnic.
Počet siločar
editovatČasto se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:
- Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj , je roven podílu velikosti náboje uvnitř této plochy a permitivity vakua , přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.
Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem
- ,
kde označuje počet siločar.
V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru
Vlastnosti
editovat- Gaussův zákon elektrostatiky se používá pro výpočet intenzity elektrického pole v různých bodech prostoru, zpravidla lze-li uplatnit některé symetrie problému. Je přímým důsledkem Gaussovy věty a Maxwellových rovnic.
- Jestliže uvnitř plochy není uzavřeno žádné těleso s elektrickým nábojem, pak je celkový tok elektrické intenzity touto plochou nulový.
- Jestliže má plocha kulový tvar poloměru r a v jejím středu se nachází bodový elektrický náboj Q, pak intenzita elektrického pole v libovolném bodě na ploše má velikost
Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.
- Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussův zákon elektrostatiky na Wikimedia Commons
Literatura
editovat- SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.]: [s.n.] 650 s. ISBN 80-200-1004-1.