Deformace

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},0)=x_{j}$. V čase $\Delta t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},\Delta t)$. Lze definovat vektor posunutí $u_{i}$ jako

$u_{i}=y_{i}-x_{i}$

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

$y_{j}=x_{j}+u_{j}(x_{i})$

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod $x_{j}$ kontinua a v jeho okolí bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$, pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_{j}$ přesune do bodu $y_{j}$ a bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ do bodu $y_{j}+\mathrm {d} y_{j}$. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}$ jako $u_{j}$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ jako $u_{j}+\mathrm {d} u_{j}$, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_{j}$, můžeme použít zápis

$\mathrm {d} y_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\mathrm {d} u_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\left({\frac {\mathrm {d} u_{j}}{\mathrm {d} x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}$

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}}}$. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}}}$ (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_{j}$ a konečné $y_{j}$, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}$

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2\varepsilon _{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}$

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

$\varepsilon _{lk}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}+\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)\right]$

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. $\varepsilon _{lk}=\varepsilon _{lk}(x_{i})$, a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_{i}$ se souřadnicemi $x_{j}$, tzn. jsou malé také parciální derivace ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)$ malý ve srovnání s členy ${\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}$ a ${\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

$e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)$

Pro malé deformace tedy platí

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,$

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

${\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)$

a platí

$\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}$

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $\mathrm {d} x_{i}$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $\mathrm {d} y_{j}$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\overline {e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru $e_{ij}$ na izotropní část a deviátor

$e_{ij}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}+\left(e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}\right)$,

kde $e_{I}$ je stopa tenzoru malých deformací a $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta. Označuje se

$e_{ij}^{(s)}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}$

jako izotropní část a

$e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}$

jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru $e_{ij}$ lze určit následující úvahou.

Výraz $\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{1}$ je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení $l_{0}^{2}$. Podobně pro výraz $\mathrm {d} y_{i}\mathrm {d} y_{i}$, který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení $l^{2}$. Potom platí

${\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}=2e_{11}$

Pro malé deformace je $l_{0}{\dot {=}}l$, takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu ${\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {(l-l_{0})(l+l_{0})}{l_{0}^{2}}}{\dot {=}}{\frac {(l-l_{0})2l_{0}}{l_{0}^{2}}}=2{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}$, čímž získáme

$e_{11}{\dot {=}}{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}$

Složka tenzoru $e_{11}$ malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou $x_{1}$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky $e_{22}$ a $e_{33}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami $x_{2}$ a $x_{3}$.

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami $x_{1},x_{2}$. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky $e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}$. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. $e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\neq 0$, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{1}$, tzn. lze jej před deformací popsat vektorem $(\mathrm {d} x_{1},0)$, lze po deformaci popsat vektorem $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$, kde $u_{2}$ je složka vektoru posunutí podél osy $x_{2}$. Pro úhel $\alpha _{1}$ mezi vektory $(\mathrm {d} x_{1},0)$ a $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$ platí

$\operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}$

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{2}$, který je možné před deformací popsat vektorem $(0,\mathrm {d} x_{2})$, určit složky tohoto elementu po deformaci jako $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$. Pro úhel $\alpha _{2}$ mezi vektory $(0,\mathrm {d} x_{2})$ a $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$ platí

$\operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}$

Pro malé deformace lze použít aproximaci $\operatorname {tg} \,\alpha _{i}\approx \alpha _{i}$, což umožňuje psát

$2e_{12}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$

Smíšená složka tenzoru deformace $e_{12}$ tedy odpovídá polovině úhlu $\alpha _{1}+\alpha _{2}$, o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami $x_{1}$ a $x_{2}$. Úhel $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka $e_{12}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku $e_{13}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku $e_{23}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky $e_{ij}$, kvádr, jehož hrany mají před deformací délky $l_{01},l_{02},l_{03}$, přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na $l_{1},l_{2},l_{3}$. Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

${\frac {l_{i}-l_{0i}}{l_{0i}}}=e_{ii}$

pro $i=1,2,3$.

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako $l_{i}=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}$. Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

$V=l_{1}l_{2}l_{3}=(l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33})=l_{01}l_{02}l_{03}+l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_{0}+V_{0}e_{I}$

což bývá obvykle zapisováno jako

$e_{I}={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}$,

kde $V_{0}$ je objem tělesa před deformací a $V$ je objem tělesa po deformaci. Stopa $e_{I}$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části $e_{ij}$ je stejná jako stopa celého tenzoru $e_{ij}$, odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru $\operatorname {Tr} \,e^{(d)}$ je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.

Související články

• Rotace
• Translace
• Topologické zobrazení
• Rovnice kompatibility deformací
• Rychlost deformace
• Deformační metoda

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu deformace na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph119357 PSH: 3061 LCCN: sh85036465 NLI: 987007545605305171