Kartézský součin

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin $X$ a $Y$ je množina, označená $X\times Y$ , která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny $X$ a druhá položka je prvkem množiny $Y$ . Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulací analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definice

X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel $\mathbb {R}$ se sebou samou vznikne rovina $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!$ , což je možno psát jako $\mathbb {R} ^{2}$ („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí $(x,y):x,y\in \mathbb {R}$ , viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

X_{1}\times X_{2}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i},1\leq i\leq n\}

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ .

Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina ( $A\times B=\emptyset$ ), pak je $A=\emptyset$ nebo $B=\emptyset$ .

Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

\prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}

Zde $I$ je množina indexů, $\{X_{i}:i\in I\}$ je množina operandů (množin), indexovaná prvky $I$ .

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z $I$ do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde $(x_{1},x_{2},\ldots )$ odpovídá takové funkci $f$ , u které $f(1)=x_{1},f(2)=x_{2},\ldots$

Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině $X$ jsou určité podmnožiny $X\times X$ , operace na množině jsou určité podmnožiny $X\times X\times X$ .

Direktní součin

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Pro mnoho matematických struktur (např. algebraické, topologické atd.) se používá pojem direktní součin souboru několika struktur (i nekonečně mnoho) pro strukturu, jejíž nosnou množinou je jejich kartézský součin a struktura se na něj přenáší.

Například direktní součin monoidů $(\mathbb {Z} ,+,0)$ a kladných reálných čísel s násobením $(\mathbb {R} ,.,1)$ je jejich kartézský součin vybavený binární operací $(z_{1},r_{1})\circ (z_{2},r_{2})=(z_{1}+z_{2},r_{1}.r_{2})$ s neutrálním prvkem $(0,1)$ .

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kartézský součin na Wikimedia Commons