Otevřít hlavní menu

Souřadnicový zápis tenzorových veličin je způsob zápisu vektorů a tenzorů pomocí jejich složek v dané soustavě souřadnic. Při takovém způsobu zápisu nevyznačujeme explicitně prvky báze, ale jen souřadnice zapsané v této bázi. Ke specifikaci toho, o jakou bázi jde (tj. jakou soustavu souřadnic přesně používáme) zpravidla slouží jen zadání složek metrického tenzoru v této bázi. Tento formalismus se využívá především v teorii relativity (např. [1][2]), avšak zdaleka ne univerzálně ([3]).

Formalismus zápisu tenzorových veličin v souřadnicích je vyvinut takovým způsobem, aby forma zápisu tenzorové rovnice nezáležela na použitých souřadnicích, což odráží skutečnost, že pokud na pravé i levé straně takové rovnice jsou tenzory stejného typu, pak platí-li rovnost v jedné soustavě souřadnic, platí ve všech souřadných soustavách.

Obsah

ÚvodEditovat

Jednotlivé složky tenzorových veličin jsou značeny indexy, přičemž indexy nahoře se nazývají kontravariantní a odpovídají souřadnicím vektorů, kdežto indexy dole se nazývají kovariantní a odpovídají souřadnicím diferenciálních forem. V teorii relativity se zpravidla používá řeckých písmen a hodnot 0,...,3 pro indexování časoprostorových tenzorových veličin a latinských indexů 1,...,3 pro prostorové vektory a tenzory.

Složkový zápis vektorů je založen na užívání Einsteinova sumačního pravidla, tedy sčítání přes všechny hodnoty indexů, které jsou v jednom členu označeny stejně a mají opačnou polohu. Velmi často se rovněž v zápisu vyskytují metrický tenzor, Kroneckerovo delta a Levi-Civitův pseudotenzor.

Příklady:

Ai je v této notaci vektor, S je skalár a Rijkl je jednou kontravariantní a třikrát kovariantní tenzor čtvrtého řádu.
 

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorůEditovat

Tenzor n-tého řádu (mající tedy n volných indexů) realizuje objekt nezávislý na soustavě souřadnic, a to nehledě na polohu těchto indexů. Polohu jednotlivých indexů lze měnit vysčítáním přes metrický tenzor, který je vyjádřen buďto kovariantně, nebo kontravariantně.

Stručné zavedení metrického tenzoruEditovat

Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti podle vztahu

 

představuje tedy jakousi Pythagorovu větu pro limitně malé trojúhelníky v daném bodě (jelikož určuje jak se změní vzdálenost v prostoru v závislosti na tom, jak se změní souřadnice). Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů:

 

Běžně se zavádí také metrický tenzor v kontravariantním tvaru  , který je definován vztahy

 

Zvedání a snižování indexůEditovat

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):

 
 

Kroneckerovo delta, Levi-Civitův pseudotenzorEditovat

Obecné zavedeníEditovat

Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.

 
  je-li   je antisymetrické na každé dvojici indexů.
  je-li   je antisymetrické na každé dvojici indexů.

  je přitom determinant z metrického tenzoru. Je vidět, že v rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě toto zavedení přechází v klasické vavedení permutačního symbolu a Kroneckerova delta.

Důležité identityEditovat

Identity vztahující se ke kroneckerovu tenzoru a Levi-Civitovu pseudotenzoru:

 
 
 
kde (π1,…,πn) je permutace indexů m1,…,mn a sčítá se přes všechny permutace
 
 

Znaménko determinantu metriky je ve většině „rozumných“ případů kladné, takže   Významu toto upřesnění nabývá především v teorii relativity, protože zde pracujeme s časoprostorem, který má smíšenou signaturu.

Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisuEditovat

Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, bývá výhodné zavést tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:

 

Je-li metrický tenzor konstantní, pak veličina vzniklá operátorem čárky z tenzorové veličiny je opět tenzorová veličina.

Porovnání jednotlivých notacíEditovat

Tabulka vybraných vektorových identit ve vektorovém zápisu a v souřadnicovém zápisu:

Pojmenování vektorový tvar tvar ve složkách
Skalární součin vektorů:    
Vektorový součin vektorů:    
Gradient skalárního pole:    
Divergence vektorového pole:    
Rotace vektorového pole:    

ReferenceEditovat

  1. KUCHAŘ, Karel. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia, 1968. (česky) 
  2. VOTRUBA, Václav. Základy speciální teorie relativity. Praha: Academia, 1969. (česky) 
  3. MISNER; THORNE; WHEELER. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973. ISBN 978-0-7167-0344-0. (anglicky)