Wikipedista:Irigi/Místo na uložení článku 1

Souřadnicový zápis tenzorových veličin je způsob zápisu vektorů a tenzorů pomocí jejich složek v dané soustavě souřadnic. Při takovém způsobu zápisu nevyznačujeme explicitně prvky báze, ale jen souřadnice zapsané v této bázi. Ke specifikaci toho, o jakou bázi jde (tj. jakou soustavu souřadnic přesně používáme) zpravidla slouží jen zadání složek metrického tenzoru v této bázi. Tento formalismus se využívá především v teorii relativity (např. ), avšak zdaleka ne univerzálně ().

Formalismus zápisu tenzorových veličin v souřadnicích je vyvinut takovým způsobem, aby forma zápisu tenzorové rovnice nezáležela na použitých souřadnicích, což odráží skutečnost, že pokud na pravé i levé straně takové rovnice jsou tenzory stejného typu, pak platí-li rovnost v jedné soustavě souřadnic, platí ve všech souřadných soustavách.

Úvod

Jednotlivé složky tenzorových veličin jsou značeny indexy, přičemž indexy nahoře se nazývají kontravariantní a odpovídají souřadnicím vektorů, kdežto indexy dole se nazývají kovariantní a odpovídají souřadnicím diferenciálních forem. V teorii relativity se zpravidla používá řeckých písmen a hodnot 0,...,3 pro indexování časoprostorových tenzorových veličin a latinských indexů 1,...,3 pro prostorové vektory a tenzory.

Složkový zápis vektorů je založen na užívání Einsteinova sumačního pravidla, tedy sčítání přes všechny hodnoty indexů, které jsou v jednom členu označeny stejně a mají opačnou polohu. Velmi často se rovněž v zápisu vyskytují metrický tenzor, Kroneckerovo delta a Levi-Civitův pseudotenzor.

Příklady:

Aⁱ je v této notaci vektor, S je skalár a Rⁱ_jkl je jednou kontravariantní a třikrát kovariantní tenzor čtvrtého řádu.

$A^{ij}B_{j}\equiv \sum _{j=1}^{3}{A^{ij}B_{j}}$

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů

Tenzor n-tého řádu (mající tedy n volných indexů) realizuje objekt nezávislý na soustavě souřadnic, a to nehledě na polohu těchto indexů. Polohu jednotlivých indexů lze měnit vysčítáním přes metrický tenzor, který je vyjádřen buďto kovariantně, nebo kontravariantně.

Stručné zavedení metrického tenzoru

Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti podle vztahu

$\mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j},\,$

představuje tedy jakousi Pythagorovu větu pro limitně malé trojúhelníky v daném bodě (jelikož určuje jak se změní vzdálenost v prostoru v závislosti na tom, jak se změní souřadnice). Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů:

$|A|^{2}\equiv g_{ij}A^{i}A^{j}.$

Běžně se zavádí také metrický tenzor v kontravariantním tvaru $g^{ij}$, který je definován vztahy

$g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}.$

Zvedání a snižování indexů

Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):

$g_{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{m}j}$

$g^{i_{k}j}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{k}i_{(k+1)}\dots i_{m}}={A^{i_{1}\dots i_{n}j}}_{i_{1}\dots i_{(k-1)}i_{(k+1)}\dots i_{m}}$

Kroneckerovo delta, Levi-Civitův pseudotenzor

Obecné zavedení

Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.

$\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

$\varepsilon _{i_{1}i_{2}...i_{n}}={\sqrt {|g|}}$ je-li $i_{k}=k,\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

$\varepsilon ^{i_{1}i_{2}...i_{n}}={\frac {\operatorname {sign\ } g}{\sqrt {|g|}}}$ je-li $i_{k}=k,\varepsilon ^{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$ je antisymetrické na každé dvojici indexů.

$g\equiv \operatorname {det} (g_{ij})$ je přitom determinant z metrického tenzoru. Je vidět, že v rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě toto zavedení přechází v klasické vavedení permutačního symbolu a Kroneckerova delta.

Důležité identity

Identity vztahující se ke kroneckerovu tenzoru a Levi-Civitovu pseudotenzoru:

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\left(\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{n}-\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}\right)\operatorname {sign\ } g$

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{lmn}=\left(\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}+\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{l}+\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}-\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{l}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{n}\right)\operatorname {sign\ } g$

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{m_{1}\dots m_{n}}=\left(\sum _{(\pi _{1},\dots ,\pi _{n})}{\left(\prod _{k=1}^{n}{\delta _{i_{k}}^{\pi _{k}}}\right)\operatorname {sign\ } (\pi _{1},\dots ,\pi _{n})}\right)\operatorname {sign\ } g$

kde (π₁,…,π_n) je permutace indexů m₁,…,m_n a sčítá se přes všechny permutace

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\left(\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}\right)\operatorname {sign\ } g$

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!\operatorname {\ sign\ } g$

Znaménko determinantu metriky je ve většině „rozumných“ případů kladné, takže $\operatorname {sign\ } g=1.$ Významu toto upřesnění nabývá především v teorii relativity, protože zde pracujeme s časoprostorem, který má smíšenou signaturu.

Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu

Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, bývá výhodné zavést tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:

${A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m},k}\equiv {\partial }_{k}{A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}\equiv {\frac {{\partial A^{i_{1}\dots i_{n}}}_{j_{1}\dots j_{m}}}{\partial x^{k}}}.$

Je-li metrický tenzor konstantní, pak veličina vzniklá operátorem čárky z tenzorové veličiny je opět tenzorová veličina.

Porovnání jednotlivých notací

Tabulka vybraných vektorových identit ve vektorovém zápisu a v souřadnicovém zápisu:

Pojmenování	vektorový tvar	tvar ve složkách
Skalární součin vektorů:	$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$	$A^{i}B_{i}=\delta _{ik}A^{i}B^{k}=\delta ^{ik}A_{i}B_{k}\,$
Vektorový součin vektorů:	$\mathbf {A} \times \mathbf {B}$	$\varepsilon _{ijk}A^{j}B^{k}$
Gradient skalárního pole:	$\nabla \phi (\mathbf {r} )$	$\phi (x^{i})_{,j}\,$
Divergence vektorového pole:	$\nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )$	${A^{j}}_{,j}\left(=A^{j}(x^{i})_{,j}\right)\,$
Rotace vektorového pole:	$\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$	${2(A_{j,i}-A_{i,j})}\,$