Fundamentální systém

Fundamentální systém soustavy homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic se v matematické analýze nazývá každá báze vektorového prostoru složená z řešení této soustavy.

Fundamentálním systémem soustavy homogenních diferenciálních rovnic nazveme každou množinu vektorových funkcí takovou, že

je množina všech řešení této soustavy.

Znalost fundamentálního systému je předpokladem pro použití metody variace konstant k získání partikuláního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu i nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů.

Fundamentální systém, (Hlavní) fundamentální matice a WronskiánEditovat

Homogenní lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řáduEditovat

Uvažujme lineární homogenní soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu

 

na nějakém intervalu  , kde   je maticové zobrazení. Hledáme řešení této soustavy diferenciálních rovnic v prostoru   spojitě diferencovatelných funkcí  .

Jestliže máme dvě různá řešení této diferenciální rovnice, pak jejich součet a násobek s reálnou konstantou jsou také řešením této rovnice. Prostor řešení je tedy vlastním podprostorem prostoru všech spojitě diferencovatelných funkcí.

Jestliže matice koeficientů   je spojitá maticová funkce, pak lze na ni použít Picardovu-Lindelöfovu větu o existenci a jednoznačnosti. Pak každé řešení diferenciální rovnice je jednoznačně určeno hodnotou   v počátečních podmínkách a naopak každá počáteční hodnota   této soustavy diferenciálních rovnic určuje jednoznačně řešení. Z toho plyne, že prostor řešení je n-dimenzionální.

DefiniceEditovat

Každá báze tohoto n-dimenzionálního prostoru řešení se nazývá fundamentální systém lineární soustavy diferenciálních rovnic. Ve většině případů si volíme bázi soustavy funkcí, které jsou řešeními  , pro které počáteční hodnota   je  -tý kanonický jednotkový vektor.

Pokud   je fundamentální systém, pak matici   nazveme fundamentální maticí a její determinant   budeme nazývat Wronskián. Jestliže   pro nějaké   je jednotková matice, pak se   nazývá hlavní fundamentální matice v bodě  .

Fundamentální matice   je také řešení homogenní obyčejné (maticové) diferenciální rovnice, konkrétně

 

Prostor řešení původní homogenní soustavy v   pak je  .   je dokonce i hlavní fundamentální matice pro  , takže   řeší počáteční úlohu pro  .

Fundamentální matice   je pro každé   invertibilní. Pro Wronskián platí Liouvilleův vzorec.

Homogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řáduEditovat

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu může být prostor řešení lineární soustavy vyššího řádu také vektorový prostor, a proto každou jeho bázi lze považovat za fundamentální systém.

Pro definici fundamentální matice skalární lineární diferenciální rovnice řádu n

 

nejdříve uvažujeme diferenciální rovnici odpovídající soustavě n rovnic prvního řádu

 , kde  

[Vztah je následující:   je řešením skalární rovnice řádu n právě tehdy když   je řešením výše uvedené soustavy prvního řádu.]

Fundamentální maticí rovnice

 

nazýváme každou fundamentální matici   soustavy prvního řádu

 

Přirozeně   nazýváme hlavní fundamentální maticí v  , jestliže   je jednotková matice. Determinant   se nazývá Wronskián.

Pro redukci rovnice na soustavu prvního řádu: jestliže   je fundamentální systém, pak

 

je fundamentální matice.

Konstrukce fundamentálního systémuEditovat

Zkonstruovat fundamentální systém je v obecném případě obtížné. Přesné postupy jsou známy pouze pro diferenciální rovnice se speciální strukturou, jako jsou skalární diferenciální rovnice prvního řádu, soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty, diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty a Eulerova rovnice. Pokud je známé řešení homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu, lze snížit řád diferenciální rovnice použitím postupu pro redukci řádu objeveného Jean le Rond d'Alembertem.

Lineární diferenciální rovnice prvního řáduEditovat

Nechť   je primitivní funkce k funkci  , potom

 

je fundamentální systém rovnice  .

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficientyEditovat

Pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty

 

nejdříve nalezneme Jordanovu normální formu   matice   a příslušnou Jordanovu bázi  . Pokud   je komplexní vlastní hodnota s vlastními vektory báze  , můžeme v Jordanově bázi vybrat bázové vektory tak, že   se stanou bázovými vektory  .

Nyní provedeme pro každý řetězec hlavních vektorů zvlášť: Pokud   je (úplný) řetězec hlavních vektorů pro vlastní číslo  , tj.

 ,

pak dodávají do fundamentálního systému   řešení (hlavního vektoru)

 

obecně

 

Probráním všech řetězců hlavních vektorů sestrojíme (obecně komplexní) fundamentální systém.

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficientyEditovat

Fundamentální systém pro skalární lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty

 

získáme řešením charakteristické rovnice   s charakteristickým polynomem

 .

Jestliže   jsou (po dvou různé) kořeny polynomu   s násobnostmi  , pak (komplexní) fundamentální systém   lineárně nezávislých řešení pro kořen   je

 .

[To vysvětluje způsob vyjadřování: pomocí výše uvedené transformace získáme skalární rovnici n-tého řádu ze soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu, takže máme matici koeficientů jako charakteristický polynom přesně toto, jak bylo zde ukázáno.]

Reálný fundamentální systémEditovat

Výše uvedeným postupem získáme n lineárně nezávislých řešení, která mohou obsahovat komplexní čísla. Díky tomu, že pokud má charakteristické rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, jsou to dvojice komplexně sdružených čísel, využitím linearity diferenciální rovnice a Eulerova vzorce   lze komplexní fundamentální systém převést na reálný tak, že každou dvojici komplexně sdružených řešení   z (komplexního) fundamentálního systému převedeme na reálná řešení  .

Periodická soustava diferenciálních rovnic prvního řáduEditovat

Pro soustavu

 

s  -periodickou spojitou maticí koeficientů   nelze explicitně zkonstruovat fundamentální systém – ale díky Floquetově teorii lze zjistit jaká bude struktura fundamentální matice této soustavy.

PříkladyEditovat

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficientyEditovat

Řešíme následující soustavu diferenciálních rovnic

 

Matice   má jednoduché vlastní číslo 1 a dvojité vlastní číslo 2. Prostor vlastních vektorů je   Pro hlavní řetěz vektorů pro vlastní číslo 2 je stále potřeba

 

Zvolíme například

 

Pak musíme jako hlavní vektor v první fázi zvolit  . Tím dostaneme fundamentální systém  , kde

 

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficientyEditovat

Uvažujme diferenciální rovnici

 

Tato rovnice má charakteristický polynom  , který má čtyři kořeny  . Odtud hned získáme komplexní fundamentální systém

 

kterému odpovídá reálný fundamentální systém

 

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fundamentalsystem (Mathematik) na německé Wikipedii.

LiteraturaEditovat

  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.
  • Gerald Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society, 2012. (Graduate Studies in Mathematics). [Online verze Dostupné online]. ISBN 978-0-8218-8328-0.