Otevřít hlavní menu

Wronskián (nebo také Wronského determinant) je v matematice funkce, která je definována jako determinant Wronského matice. Byl vymyšlen v roce 1812 polským matematikem Józefem Hoene-Wrońským a o 70 let později také po něm pojmenován. Je používán zejména v teorii diferenciálních rovnic při jejich řešení metodou variace konstant a při zjišťování lineární nezávislosti množiny funkcí.

DefiniceEditovat

Nechť funkce (reálné nebo komplexní proměnné)   mají v množině   všechny derivace až do řádu   včetně. Potom wronskiánem těchto funkcí nazýváme funkci definovanou vztahem

 

Determinant se skládá z   sloupců a   řádků. V prvním řádku se nachází původní funkce, v každém  -tém řádku jejich   derivace.

VlastnostiEditovat

  • Pokud jsou funkce   diferencovatelné do řádu   na množině   a jsou zde lineárně závislé, potom platí   pro všechna  .
  • Nechť jsou funkce   lineárně nezávislá řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu   na množině   . Potom platí   pro všechna  .

Při řešení lineárních diferenciálních rovnic se wronskián používá pro zjišťování lineární nezávislosti funkcí, které tuto rovnici řeší. Při nalezení tolika lineárně nezávislých rovnic jako je řád diferenciální rovnice lze určit její fundamentální systém, a na základě konkrétního partikulárního řešení také obecné řešení této rovnice .

PříkladEditovat

Spočtěme determinant systému funkcí   . Jde o   funkcí, determinant bude mít tedy   řádků a   sloupců. Wronskián je roven

 

V posledním kroku výpočtu bylo využito, že determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu jejich prvků na diagonále. Tento výsledek bude vždy nenulový pro libovolné  , a proto jsou tyto funkce lineárně nezávislé.

LiteraturaEditovat

  • Krbálek, Milan. Matematická analýza III. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2011, 230 s. ISBN 978-80-01-04863-4.
  • Kopáček, Jiří. Matematická analýza pro fyziky (II). Vyd. 1. Praha: Matfyzpress, 1998, 217 s. ISBN 80-858-6326-X.

Související článkyEditovat