Otevřít hlavní menu

Charakteristická rovnice

Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice[1]) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu[2]. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty[1], které lze obecně zapsat

kde je závislá proměnná a jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

Z kořenů charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice[1][3][4]. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi[2]. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge[2][4].

DerivaceEditovat

Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty  ,

 

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo  , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem  . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce   je násobkem původní funkce, čili  ,   a   jsou všechno násobky  . To naznačuje, že určité hodnoty   dovolují, aby součet násobků   dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici[3]. Abychom zjistili hodnotu  , dosadíme funkci   a její derivace do diferenciální rovnice za   a jeho derivace, čímž dostaneme

 

Protože   není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

 

Když nalezneme kořeny   této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice[1][4]. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude  , kde   je konstanta.

Sestrojení obecného řešeníEditovat

Příklad

Lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty

 

má charakteristickou rovnici

 .

Její faktorizací dostaneme

 

z čehož vidíme, že řešeními rovnice je jeden jednoduchý kořen   a dvě dvojice komplexních kořenů  . Z toho plyne, že diferenciální rovnice má reálné obecné řešení

 

kde   jsou reálné konstanty

Naleznutí kořenů   charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny,   násobnými kořeny a   komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením  ,   a  , pak obecné řešení diferenciální rovnice je

 

Jednoduché reálné kořenyEditovat

Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže   jsou   lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace   je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty  [1][5]. Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny  , její obecné řešení bude mít tvar

 

Vícenásobné reálné kořenyEditovat

Jestliže charakteristická rovnice má   násobný kořen  , pak je zřejmé, že   je alespoň jedno její řešení[1]. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími   kořeny. Protože   má násobnost  , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na[1]

 

Skutečnost, že   je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar  , kde   je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce   dává

 

pro  .   násobným použitím této skutečnosti dostáváme

 

což po vydělení   dává

 

To platí právě tehdy, když   je polynom stupně  , neboli  [4]. Protože  , část obecného řešení odpovídající   je

 

Komplexní kořenyEditovat

Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru   a  , pak obecné řešení je  . Použitím Eulerova vzorce   můžeme toto řešení upravit:

 

kde   a   jsou libovolné (i komplexní) konstanty[4].

Pokud použijeme konstanty  , pak dostaneme partikulární řešení  .

Pokud použijeme konstanty   a  , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení  . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů   vyjádřit vzorcem  .

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic equation (calculus) na anglické Wikipedii.

  1. a b c d e f g EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E. Differential Equations: Computing and Modeling. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education ISBN 978-0-13-600438-7. Kapitola 3. 
  2. a b c SMITH, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations [online]. University of South Florida. Dostupné online. 
  3. a b CHU, Herman; SHAH, Gaurav; MACALL, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients [online]. eFunda. Dostupné online. 
  4. a b c d e COHEN, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. [s.l.]: D. C. Heath and Company, 1906. 
  5. DAWKINS, Paul. Dostupné online.