Eulerův vzorec

Tento článek je o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.

Význam vzorceEditovat

Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.

DůkazEditovat

Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:

 

Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:

 

Využijeme toho, že i2 = -1:

 

Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:

 

Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:

 
 

čímž dostáváme Eulerův vzorec:

 

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je   číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.

Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec  :

 

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat