Eulerův vzorec

Tento článek je o Eulerově vzorci v Komplexní analýze. O ostatních významech pojednává článek Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi.

Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí:

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Význam vzorceEditovat

Je zvykem na Eulerův vzorec nahlížet jako na větu komplexní analýzy. Pro jeho pochopení je potřeba vědět, co znamená mocnění komplexním číslem.

Uvažujme nejdříve exponenciální funkci reálné proměnné:

 

Její Taylorův rozvoj je:

 

Definiční obor exponenciální funkce lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + bi):

 

Pro a = 0 dostáváme:

 

Nyní mírně přerovnejme sčítance

 

Ze druhé části vytkneme i:

 

Teď se i vyskytuje pouze v sudých mocninách a můžeme využít, toho že i2 = -1:

 

Ze znalosti Taylorovy řady víme, že první část je rozvoj funkce kosinus a druhá část je rozvoj funkce sinus:

 

Ukázali jsme si, že při naší definici komplexního mocnění je Eulerův vzorec pravdivé tvrzení.

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je   číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného až na to, že mají argument komplexní.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat