Otevřít hlavní menu

Imaginární jednotka

číslo, jehož druhá mocnina je rovna -1

Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j), které rozšiřuje obor reálných čísel na obor čísel komplexních . Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako j místo i, protože i se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

DefiniceEditovat

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

x2 = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i2 číslem −1.

i a −iEditovat

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

UpozorněníEditovat

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako  , ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

 

Kalkulační pravidlo

 

je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako:

 

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny iEditovat

Mocniny i se cyklicky opakují:

 
 
 
 
 
 
 

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

 
 
 
 

i a Eulerův vzorecEditovat

Vezmeme Eulerův vzorec  , a po dosazení   za  , dostaneme

 

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme  , získáme následující rovnost:

 

Ve skutečnosti je snadné určit, že   má nekonečný počet řešení ve tvaru

 

Z výše uvedené identity

 

lze odvodit Eulerovu identitu

 ,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat