Faktorokruh

Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu.

Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).

Vytvoření faktorokruhuEditovat

Nechť je dán okruh   a ideál   tohoto okruhu. Pak je možné na   definovat relaci   následovně:

  tehdy a jen tehdy když  

Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí – s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. Třída obsahující prvek   bývá značena  . Třídy ekvivalence spolu s operacemi:

  •  
  •  

tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem   modulo   a obvykle se značí  . Z původního okruhu   existuje vždy zobrazení na okruh   definované předpisem  . Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál  .

VlastnostiEditovat

  • Je-li   komutativní okruh, je i   komutativní.
  • Je-li   komutativní okruh a   je maximální ideál, pak je   tělesem.
  • Je-li   komutativní okruh a   je prvoideálem, pak je   oborem integrity.
  • Ideály faktorokruhu   odpovídají ideálům okruhu   obsahujícím  

PříkladyEditovat

  • Faktorokruh z nevlastních ideálů:   je isomorfní samotnému  , zatímco   je isomorfní nulovému okruhu.
  • V okruhu celých čísel   je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit  . Faktorokruh   má jen dva prvky,   (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a   (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu  .
  • Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená  , jsou vlastně faktorokruhy  
  • Pro okruh mnohočlenů  , tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál  , tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu  , je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel.
  • Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní.
  • Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso   lze zkonstruovat jako faktorokruh  , kde   je mnohočlen stupně  , který je nad   ireducibilní.