Otevřít hlavní menu

Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno ) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

VlastnostiEditovat

  • Počet prvků konečného tělesa je roven  , kde   je prvočíslo a   je kladné přirozené číslo.
  • Charakteristika tělesa   je rovna právě prvočíslu  .
  • Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
  • Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
  • Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě  , můžeme zkonstruovat mnohočlen , který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z   není jeho kořenem.

ReprezentaceEditovat

  jsou celá čísla modulo dané prvočíslo   neboli  . Typická reprezentace Galoisova tělesa   jsou polynomy nad   modulo definiční polynom stupně  . Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(32) při definičním polynomu x2+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x2+x-1 ale x stačí.

VyužitíEditovat

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódováníEditovat

V kódování jsou nejčastěji používána  . V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho   bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu   určuje koeficient u  . Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad   sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa   resp. v číselném pohledu  . Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li   reprezentace  , pak reprezentaci   dostaneme buď jako  , pokud je   nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud  ). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele  ) pomocí  . Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.