Faktoralgebra
Koncept faktoralgebry je vyrobit z nosné množiny původní algebry hrubší objekt se stejnou strukturou. Formálně faktoralgebru tvoří vhodná ekvivalence na nosné množině algebry , nosná množina faktoralgebry se pak bude skládat z bloků ekvivalence .
Faktoralgebry odpovídají homomorfním obrazům algeber a jsou zobecněním faktorgrupy a faktorokruhu.
Definice editovat
Nechť je algebra. Ekvivalence na se nazývá kongruence algebry pokud:
- Pro každou operaci a platí
Operace faktoralgebry pak definujeme na blocích ekvivalence takto:
- Pro každé a je
![{\displaystyle G_{A}([a_{1}],...,[a_{ar(F_{A})}])\sim [F_{A}(a_{1},...,a_{ar(F_{A})})]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1929e4a7a9a9bbb749932197562f1f6585077eb)
Jinak řečeno, prvky bloku ekvivalence jsou z hlediska operací zaměnitelné. Proto si také můžeme z každého bloku zvolit reprezentanta, tím dostaneme množinu reprezentantů, která je izomorfní nosné množině faktoralgebry.
Vlastnosti editovat
- Faktoralgebra má stejnou signaturu jako původní algebra.
- Kongruence algebry je ekvivalence respektující strukturu algebry.
- Každá algebra ma alespoň dvě nevlastní faktoralgebry definovány kongruencemi:
- Tedy ekvivalencí rovnosti a ekvivalencí všech prvků algebry.
Příklady editovat
Uvažujme relaci v grupě celých čísel . Ta má zřejmě dva bloky ekvivalence a to sudá a lichá čísla. Nyní je třeba ověřit, že její operace splňují definici faktorgupy. Tedy že:
- pro operaci sčítání : platí
- pro operaci inverze : platí
- konstantni prvek (operace arity 0) se zobrazí na konstantní prvek (je splněno vždy).
Což jde jednoduše ověřit. Například pro operaci sčítání máme čtyři možnosti je buď sudé, nebo liché a stejně tak .
Nosnou množinu faktorgrupy reprezentovat například jako , neboť je reprezentantem sudých čísel a je reprezentantem čísel lichých.
Mějme grupu permutací na prvcích a relaci ekvivalence . Tedy dvě permutace jsou ekvivalentní, pokud mají stejné znaménko. Pak faktoralgebra bude izomorfní s faktoralgebrou v předchozím případě. (Stačí si uvědomit, že inverzní permutace má stejné znaménko, složení permutací má znaménko
a nulovým prvkem, je identita.)
Věta o izomorfismu editovat
Je-li homomorfismus algeber, pak platí .
Tedy algebra určená rozkladem nosné množiny algebry podle jádra homomorfismu je isomorfní s obrazem homomorfismu .
Myšlenka důkazu:
- Je li homomorfismus pak jádro zobrazení je kongruence algebry .
- Je li homomorfismus a kongruence na taková, že , pak je zobrazení je homomorfismus.
- Pak je prostý a na a je tedy izomorfismem.
![{\displaystyle \psi :A/\sim \rightarrow B,[a]\rightarrow \varphi (a)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863e301fb6674582261a63b9bab67011cab9c3a0)
Každá kongruence na algebře je tedy jádrem vhodného homomorfismu, ten můžeme sestrojit jako zobrazení z , tedy .
![{\displaystyle \varphi :a\rightarrow [a]_{\sim }\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44debf135eace218be672ae52c27f5636ae5af8)
Naopak každé jádro homomorfismu je kongruence .
Dále pak každá faktoralgebra odpovídá obrazu homomorfismu, tedy pro .
A naopak projekce je homomorfismem pro kongruenci na algebře .
Příklad editovat
V předchozím případě bychom mohli zvolit homomorfismus zobrazující sudá čísla na prvek a lichá čísla na prvek , příslušné operace by byly zadefinovány takto:
- Operace
| + | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
- Operace
-0 = 0, -1 = 1
- Operace
Konstanta 0 se zobrazí na 0.
Pak jádro homomorfismu bude relace ekvivalence rozdělená na blok sudých a blok lichých čísel a faktoralgebra podle jádra zobrazení bude izomorfní s algebrou určenou obrazem homomorfismu.
Literatura editovat
- STANOVSKÝ, David. Praha: matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7.