Faktorová grupa

(přesměrováno z Faktorgrupa)

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

DefiniceEditovat

Rozklady podle podgrupyEditovat

  • Levým rozkladem grupy   podle podgrupy   je množina

 

kde množiny   se nazývají levé třídy rozkladu.

  • Pravým rozkladem grupy   podle podgrupy   je množina

 

kde množiny   pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupaEditovat

Podgrupa   grupy   je normální, značíme  , pokud pro všechny   platí  .

PříkladEditovat

FaktorgrupaEditovat

Jestliže   je normální podgrupa grupy   (symbolicky:  ), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

 .

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa   podle normální podgrupy   a značí se  .

PříkladyEditovat

  • Je-li   libovolná grupa s násobením, pak   a   jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí   a  .
  • Množina   všech násobků čísla   je normální podgrupou aditivní grupy  , faktorová grupa   je isomorfní s grupou  .

Hlavní věty o faktorových grupáchEditovat

Nechť   je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a   definuje izomorfizmus grup

 

Nechť  . Pak ke každému homomorfismu   grup, pro který  , existuje jediný homomorfismus   takový, že   (kde   je projekce   na  ).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

 

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. (čeština)