Bernoulliho polynomy B n vytvořující funkce .
Vytvořující funkce pro Bernoulliho polynomy je
t
e
x
t
e
t
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
x
)
t
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
Vytvořující funkce pro Eulerovy polynomy je
2
e
x
t
e
t
+
1
=
∑
n
=
0
∞
E
n
(
x
)
t
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
B
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
n
−
k
x
k
,
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}
E
m
(
x
)
=
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
E
k
2
k
(
x
−
1
2
)
m
−
k
.
{\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.}
pro n ≥ 0, kde B k Bernoulliho čísla , a E k Eulerova čísla .
editovat
Bernoulliho polynomy lze také vyjádřit vztahem
B
n
(
x
)
=
D
e
D
−
1
x
n
{\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}
kde D = d /dx je operátor derivace podle x a výraz pod zlomkovou čarou je vyjádřen jako rozvoj formální mocninné řady . Odtud plyne, že
∫
a
x
B
n
(
u
)
d
u
=
B
n
+
1
(
x
)
−
B
n
+
1
(
a
)
n
+
1
.
{\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.}
srovnejte s integrály níže . Stejným způsbem lze zapsat Eulerovy polynomy:
E
n
(
x
)
=
2
e
D
+
1
x
n
.
{\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}
editovat
Bernoulliho polynomy jsou také jednoznačné polynomy určené vztahem
∫
x
x
+
1
B
n
(
u
)
d
u
=
x
n
.
{\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}
Integrální transformace
(
T
f
)
(
x
)
=
∫
x
x
+
1
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}
na polynomy f dává
(
T
f
)
(
x
)
=
e
D
−
1
D
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
D
n
(
n
+
1
)
!
f
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
2
+
f
″
(
x
)
6
+
f
‴
(
x
)
24
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}
což lze použít pro získání inverzního vzorce uvedeného níže.
Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je
B
m
(
x
)
=
∑
n
=
0
m
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
x
+
k
)
m
.
{\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}
Což je řada podobná Hurwitzově funkci zeta v komplexní rovině. Skutečně existuje vztah
B
n
(
x
)
=
−
n
ζ
(
1
−
n
,
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)}
kde ζ (s , q ) je Hurwitzova funkce zeta. Ta zobecňuje Bernoulliho polynomy na jiné než celé hodnoty n .
Vnitřní součet může být chápán jako n -tá dopředná diference výrazu x m
Δ
n
x
m
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
−
k
(
n
k
)
(
x
+
k
)
m
{\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}
kde Δ je dopředný diferenční operátor . Je tedy možné psát
B
m
(
x
)
=
∑
n
=
0
m
(
−
1
)
n
n
+
1
Δ
n
x
m
.
{\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.}
Tento vzorec může být odvozen z identity uvedené výše: Protože pro dopředný diferenční operátor Δ platí
Δ
=
e
D
−
1
{\displaystyle \Delta =e^{D}-1}
kde D je derivace podle x , z Mercatorovy řady vyplývá:
D
e
D
−
1
=
log
(
Δ
+
1
)
Δ
=
∑
n
=
0
∞
(
−
Δ
)
n
n
+
1
.
{\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}.}
Pokud je aplikována na polynom m -tého stupně, jako např. x m n jít od 0 pouze do m .
Integrální reprezentaci Bernoulliho polynomů popisuje Nörlundův-Riceův integrál , což vyplývá z vyjádření pomocí konečného rozdílu.
Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy popisuje vztah
E
m
(
x
)
=
∑
n
=
0
m
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
x
+
k
)
m
.
{\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}\,.}
Výše uvedený vzorec lze odvodit obdobně, pomocí faktu, že
2
e
D
+
1
=
1
1
+
Δ
/
2
=
∑
n
=
0
∞
(
−
Δ
2
)
n
.
{\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}-{\frac {\Delta }{2}}{\Bigr )}^{n}.}
Užitím výše uvedené integrální reprezentace
x
n
{\displaystyle x^{n}}
identity
B
n
(
x
+
1
)
−
B
n
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}
∑
k
=
0
x
k
p
=
∫
0
x
+
1
B
p
(
t
)
d
t
=
B
p
+
1
(
x
+
1
)
−
B
p
+
1
p
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}
(pokud předpokládáme, že 00 = 1).
Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 0:
B
n
=
B
n
(
0
)
.
{\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(0).}
Tato definice dává
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
+
1
B
n
+
1
{\displaystyle \textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}}
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle \textstyle n=0,1,2,\ldots }
Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 1:
B
n
=
B
n
(
1
)
.
{\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(1).}
Tyto dvě konvence se liší pouze pro
n
=
1
{\displaystyle n=1}
B
1
(
1
)
=
1
2
=
−
B
1
(
0
)
{\displaystyle B_{1}(1)={\tfrac {1}{2}}=-B_{1}(0)}
Eulerova čísla jsou dána vztahem
E
n
=
2
n
E
n
(
1
2
)
.
{\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}
editovat
Několik prvních Bernoulliho polynomů je:
B
0
(
x
)
=
1
B
1
(
x
)
=
x
−
1
2
B
2
(
x
)
=
x
2
−
x
+
1
6
B
3
(
x
)
=
x
3
−
3
2
x
2
+
1
2
x
B
4
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
+
x
2
−
1
30
B
5
(
x
)
=
x
5
−
5
2
x
4
+
5
3
x
3
−
1
6
x
B
6
(
x
)
=
x
6
−
3
x
5
+
5
2
x
4
−
1
2
x
2
+
1
42
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}}
Několik prvních Eulerových polynomů je:
E
0
(
x
)
=
1
E
1
(
x
)
=
x
−
1
2
E
2
(
x
)
=
x
2
−
x
E
3
(
x
)
=
x
3
−
3
2
x
2
+
1
4
E
4
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
+
x
E
5
(
x
)
=
x
5
−
5
2
x
4
+
5
2
x
2
−
1
2
E
6
(
x
)
=
x
6
−
3
x
5
+
5
x
3
−
3
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}}
Pro vyšší n se množství změn v B n x ) mezi x = 0 a x = 1 zvětšuje. Například
B
16
(
x
)
=
x
16
−
8
x
15
+
20
x
14
−
182
3
x
12
+
572
3
x
10
−
429
x
8
+
1820
3
x
6
−
1382
3
x
4
+
140
x
2
−
3617
510
{\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}}
což ukazuje, že hodnota v x = 0 (a v x = 1) je −3617/510 ≈ −7.09, zatímco pro x = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7.09. D.H. Lehmer ukázal, že pro maximální hodnotu B n x ) mezi 0 a 1 platí
M
n
<
2
n
!
(
2
π
)
n
{\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}
pokud n není 2 modulo 4, kdy je
M
n
=
2
ζ
(
n
)
n
!
(
2
π
)
n
{\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}}
(kde
ζ
(
x
)
{\displaystyle \zeta (x)}
Riemannova funkce zeta ). Pro minimální hodnotu platí
m
n
>
−
2
n
!
(
2
π
)
n
{\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}
pokud n není 0 modulo 4, kdy je
m
n
=
−
2
ζ
(
n
)
n
!
(
2
π
)
n
.
{\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}.}
Tyto meze jsou docela blízko skutečným maximům a minimům. Lehmer udává i přesnější meze.
Bernoulliho a Eulerovy polynomy vyhovují mnoha vztahům z umbralního počtu :
Δ
B
n
(
x
)
=
B
n
(
x
+
1
)
−
B
n
(
x
)
=
n
x
n
−
1
,
{\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},}
Δ
E
n
(
x
)
=
E
n
(
x
+
1
)
−
E
n
(
x
)
=
2
(
x
n
−
E
n
(
x
)
)
.
{\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).}
(Δ je dopředný diferenční operátor ). Také,
E
n
(
x
+
1
)
+
E
n
(
x
)
=
2
x
n
.
{\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}
Tyto posloupnosti polynomů jsou Appellovými posloupnostmi :
B
n
′
(
x
)
=
n
B
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),}
E
n
′
(
x
)
=
n
E
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}
B
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
k
(
x
)
y
n
−
k
{\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}
E
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
E
k
(
x
)
y
n
−
k
{\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}
Tyto identity jsou také ekvivalentní s tvrzením, že obě posloupnosti polynomů jsou Appellovou posloupností . (Jiným příkladem jsou Hermitovy polynomy .)
B
n
(
1
−
x
)
=
(
−
1
)
n
B
n
(
x
)
,
n
≥
0
,
{\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,}
E
n
(
1
−
x
)
=
(
−
1
)
n
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}
(
−
1
)
n
B
n
(
−
x
)
=
B
n
(
x
)
+
n
x
n
−
1
{\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}}
(
−
1
)
n
E
n
(
−
x
)
=
−
E
n
(
x
)
+
2
x
n
{\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}
B
n
(
1
2
)
=
(
1
2
n
−
1
−
1
)
B
n
,
n
≥
0
z multiplikačních vět níže.
{\displaystyle B_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ z multiplikačních vět níže.}}}
Zhi-Wei Sun a Hao Pan ukázali překvapivý vztah symetrie: Pokud r + s + t = n a x + y + z = 1 , pak
r
[
s
,
t
;
x
,
y
]
n
+
s
[
t
,
r
;
y
,
z
]
n
+
t
[
r
,
s
;
z
,
x
]
n
=
0
,
{\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}
kde
[
s
,
t
;
x
,
y
]
n
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
s
k
)
(
t
n
−
k
)
B
n
−
k
(
x
)
B
k
(
y
)
.
{\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}
Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také Dirichletova řada , vzhledem k rozvoji
B
n
(
x
)
=
−
n
!
(
2
π
i
)
n
∑
k
≠
0
e
2
π
i
k
x
k
n
=
−
2
n
!
∑
k
=
1
∞
cos
(
2
k
π
x
−
n
π
2
)
(
2
k
π
)
n
.
{\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}
Všimněte si, že pro velké n tento výraz konverguje ke vhodně škalovaným trigonometrickým funkcím.
To je speciální případ analogického tvaru Hurwitzovy funkce zeta
B
n
(
x
)
=
−
Γ
(
n
+
1
)
∑
k
=
1
∞
exp
(
2
π
i
k
x
)
+
e
i
π
n
exp
(
2
π
i
k
(
1
−
x
)
)
(
2
π
i
k
)
n
.
{\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}
Tento rozvoj je platný pouze pro 0 ≤ x ≤ 1, když n ≥ 2 a je pro 0 < x < 1, když n = 1.
Je možné také spočítat Fourierovu řadu pro Eulerovy polynomy. Pokud definujeme funkce
C
ν
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
cos
(
(
2
k
+
1
)
π
x
)
(
2
k
+
1
)
ν
{\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}
a
S
ν
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
sin
(
(
2
k
+
1
)
π
x
)
(
2
k
+
1
)
ν
{\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}
pro
ν
>
1
{\displaystyle \nu >1}
C
2
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
−
1
)
!
π
2
n
E
2
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)}
a
S
2
n
+
1
(
x
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
)
!
π
2
n
+
1
E
2
n
(
x
)
.
{\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).}
Všimněte si, že
C
ν
{\displaystyle C_{\nu }}
S
ν
{\displaystyle S_{\nu }}
C
ν
(
x
)
=
−
C
ν
(
1
−
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)}
a
S
ν
(
x
)
=
S
ν
(
1
−
x
)
.
{\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).}
Jsou příbuzné s Legendrovou funkcí chí
χ
ν
{\displaystyle \chi _{\nu }}
C
ν
(
x
)
=
Re
χ
ν
(
e
i
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})}
a
S
ν
(
x
)
=
Im
χ
ν
(
e
i
x
)
.
{\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).}
Bernoulliho a Eulerovy polynomy je možné invertovat pro vyjádření monomů pomocí polynomů.
Konkrétně z výše uvedené části o integrálních operátorech zjevně plyne, že
x
n
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
n
+
1
k
)
B
k
(
x
)
{\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}
a
x
n
=
E
n
(
x
)
+
1
2
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
k
)
E
k
(
x
)
.
{\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}
Bernoulliho polynomy je možné vyjádřit rozvojem na členy klesajícího faktoriálu
(
x
)
k
{\displaystyle (x)_{k}}
B
n
+
1
(
x
)
=
B
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
n
+
1
k
+
1
{
n
k
}
(
x
)
k
+
1
{\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}
kde
B
n
=
B
n
(
0
)
{\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}
{
n
k
}
=
S
(
n
,
k
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}
označuje Stirlingovo číslo druhého druhu . Výše uvedený vztah může být invertován, aby se klesající faktoriál vyjadřil pomocí Bernoulliho polynomů:
(
x
)
n
+
1
=
∑
k
=
0
n
n
+
1
k
+
1
[
n
k
]
(
B
k
+
1
(
x
)
−
B
k
+
1
)
{\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}
kde
[
n
k
]
=
s
(
n
,
k
)
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}
označuje Stirlingovo číslo prvního druhu .
Věty násobení objevil Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:
Pro přirozené číslo m ≥1
B
n
(
m
x
)
=
m
n
−
1
∑
k
=
0
m
−
1
B
n
(
x
+
k
m
)
{\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}
E
n
(
m
x
)
=
m
n
∑
k
=
0
m
−
1
(
−
1
)
k
E
n
(
x
+
k
m
)
for
m
=
1
,
3
,
…
{\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=1,3,\dots }
E
n
(
m
x
)
=
−
2
n
+
1
m
n
∑
k
=
0
m
−
1
(
−
1
)
k
B
n
+
1
(
x
+
k
m
)
for
m
=
2
,
4
,
…
{\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots }
Dva určité integrály, které ukazují vztah Bernoulliho a Eulerových polynomů k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou:
∫
0
1
B
n
(
t
)
B
m
(
t
)
d
t
=
(
−
1
)
n
−
1
m
!
n
!
(
m
+
n
)
!
B
n
+
m
for
m
,
n
≥
1
{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\;n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}
∫
0
1
E
n
(
t
)
E
m
(
t
)
d
t
=
(
−
1
)
n
4
(
2
m
+
n
+
2
−
1
)
m
!
n
!
(
m
+
n
+
2
)
!
B
n
+
m
+
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\;n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}
Další integrální vzorec je
∫
0
1
E
n
(
x
+
y
)
log
(
tg
π
2
x
)
d
x
=
n
!
∑
k
=
1
⌊
n
+
1
2
⌋
(
−
1
)
k
−
1
π
2
k
(
2
−
2
−
2
k
)
ζ
(
2
k
+
1
)
y
n
+
1
−
2
k
(
n
+
1
−
2
k
)
!
{\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}
se speciálním případem pro
y
=
0
{\displaystyle y=0}
∫
0
1
E
2
n
−
1
(
x
)
log
(
tg
π
2
x
)
d
x
=
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
π
2
n
(
2
−
2
−
2
n
)
ζ
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}
∫
0
1
B
2
n
−
1
(
x
)
log
(
tg
π
2
x
)
d
x
=
(
−
1
)
n
−
1
π
2
n
2
2
n
−
2
(
2
n
−
1
)
!
∑
k
=
1
n
(
2
2
k
+
1
−
1
)
ζ
(
2
k
+
1
)
ζ
(
2
n
−
2
k
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}
∫
0
1
E
2
n
(
x
)
log
(
tg
π
2
x
)
d
x
=
∫
0
1
B
2
n
(
x
)
log
(
tg
π
2
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}
∫
0
1
B
2
n
−
1
(
x
)
cotg
(
π
x
)
d
x
=
2
(
2
n
−
1
)
!
(
−
1
)
n
−
1
(
2
π
)
2
n
−
1
ζ
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\operatorname {cotg} \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}
editovat
Periodický Bernoulliho polynom P n x )desetinné části argumentu x zbytkový člen v Eulerově–Maclaurinově vzorci , který vyjadřuje vztah mezi sumami a integrály. První polynom je pilovitá funkce .
Tyto funkce ve skutečnosti nejsou polynomy a správně by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce, přičemž P 0 (x )Diracův hřeben .
Zajímavé jsou následující vlastnosti, platné pro všechna
x
{\displaystyle x}
P
k
(
x
)
je spojitá pro všechna
k
>
1
P
k
′
(
x
)
existuje a je spojitá pro
k
>
2
P
k
′
(
x
)
=
k
P
k
−
1
(
x
)
,
k
>
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ je spojitá pro všechna }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ existuje a je spojitá pro }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}}
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulli polynomials
ABRAMOWITZ, Milton; STEGUN, Irene A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . 10. vyd. Dover, New York: National Bureau od Standards, prosinec 1972. (Applies Mathematics series). Dostupné online . Kapitola 23. APOSTOL, Tom M., 1976. Introduction to analytic number theory . New York-Heidelberg: Springer-Verlag. (Undergraduate Texts in Mathematics). ISBN 978-0-387-90163-3 DILCHER, K. Bernoulli and Euler Polynomials. In: NIST Handbook of Mathematical Functions . [s.l.]: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-19225-5 CVIJOVIĆ, Djurdje; KLINOWSKI, Jacek, 1995. New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments. Proceedings of the American Mathematical Society DOI 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR 2161144 GUILLERA, Jesus; SONDOW, Jonathan, 2008. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. The Ramanujan Journal . Roč. 16, čís. 3, s. 247–270. DOI 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID 14910435 arXiv math.NT/0506319 . (Recenze vztahu k Hurwitzově funkci zeta a Lerchově transcendentu.) Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan , 2007. Multiplicative number theory I. Classical theory . Cambridge: Cambridge Univ. Press. (Cambridge tracts in advanced mathematics). Dostupné online . ISBN 978-0-521-84903-6 495 –519. LEHMER, D. H., 1940. On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials. American Mathematical Monthly . Čís. 47, s. 533–538. Dostupné online . Zhi-Wei Sun; Hao Pan, 2006. Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials. Acta Arithmetica . Roč. 125, čís. 1, s. 21–39. DOI 10.4064/aa125-1-3 . S2CID 10841415 Bibcode 2006AcAri.125...21S . arXiv math/0409035 . Takashi Agoh; Karl Dilcher, 2011. Integrals of products of Bernoulli polynomials. Journal of Mathematical Analysis and Applications . Roč. 381, s. 10–16. DOI 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 . Elaissaoui, Lahoucine; Guennoun, Zine El Abidine, 2017. Evaluation of log-tangent integrals by series involving ζ(2n+1). Integral Transforms and Special Functions . Roč. 28, čís. 6, s. 460–475. Dostupné online . DOI 10.1080/10652469.2017.1312366 . S2CID 119132354 arXiv 1611.01274 . (English) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2873e6c628309f9dea95b80228aaea5a60bf02e0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03397ca8a70591f2c347eb1a421c19b485f6343b)
![{\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379cf436b579ae7aa5b3ba7998ca31ddfef58b94)
![{\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd533d20dd6ab767f9af30cc2d3cf69a3aacc77)
![{\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa131f8f6fb91cb75224a8f148cd9a3cb1a7b402)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a86615f2217e1bcb2401407be4f1261e8da424)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ je spojitá pro všechna }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ existuje a je spojitá pro }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99dde32c2088de398e9041868ac81cd24db5ce36)
Obrázky, zvuky či videa k tématu Bernoulliho polynom na Wikimedia Commons 
