Temporální logika

věda, zabývající se studiem modelů času

Temporální logika je široké spektrum formálních systémů, jejichž společným cílem je formalizovat a analyzovat věty obsahující časové (temporální) komponenty jako někdy, vždy či dokud. Kromě původních, spíše lingvistických a filosofických motivací nachází temporální logika od poslední třetiny dvacátého století uplatnění i v informatice a umělé inteligenci.

ÚvodEditovat

Temporální logika má svůj počátek v díle Arthura Priora.[pozn. 1] Jak už naznačuje její název, jde o formální vědu zabývající se studiem modelů času. Jejím cílem není odhalit ty charakteristiky, které „skutečně" času náleží, naopak podobně jako jiná odvětví matematické logiky ji lze spíše chápat jako nástroj na popis a zpřehlednění struktur, které si s během času a problémem jeho zachycení lze představit. Oproti běžnému úzu ve studiu modálních logik postupoval historický vývoj jednotlivých temporálních logik od zamýšlených interpretací (modelů, struktur) k formálním systémům, a nikoli naopak.

Z hlediska času jako takového nachází temporální logika uplatnění například ve filosofických diskuzích.[pozn. 2] Už však motivace jejího vzniku byly především lingvistického rázu,[pozn. 3] totiž objasnit strukturu temporálních forem přirozeného jazyka, případně nabídnout pro tyto formy adekvátní sémantiku. To se například týká temporálních adverbií nebo slovesných časů. Na konci šedesátých a v sedmdesátých letech dvacátého století se začaly objevovat aplikace některých systémů v oblasti umělé inteligence[pozn. 4] a v informatice.[pozn. 5] To vedlo k dalšímu rozšiřování již tak velkého množství různých teorií co do šířky (například obohacování syntaxe), hloubky (studium logických vlastností jako úplnost, rozhodnutelnost, definovatelnost, kvantitativní aspekty) a spektra záběru.

Priorova výroková temporální logika TLEditovat

Výrokovou verzi Minimální temporální logiky   lze syntakticky chápat jako rozšíření klasické výrokové logiky KVL o dva unární modální operátory   a  . Interpretace výroku   je „vždy v budoucnosti p”, interpretace   je „vždy v minulosti p”. Podobně jako v modální logice s operátorem   mají i   a   svoje duální verze   a  , „někdy v budoucnosti” a „někdy v minulosti”.[1] Ze sémantického hlediska lze   také chápat jako zjemnění KVL, totiž tak, že hodnota formule   se relativizuje vzhledem k časovému okamžiku  . Sémantika klasické logiky je v sémantice   zahrnuta v tom smyslu, že čistě výrokové formule, které neobsahují temporální operátory, se vyhodnocují lokálně.

Syntax a sémantikaEditovat

Nechť   značí jazyk KVL obohacený o operátory   a  . Jejich duály   a   jsou definovány následovně:

 

Interpretaci formulí   tvoří standardní sémantika modálních logik, kripkovské rámce, které se v temporální logice nazývají časové rámce. Jde o dvojici  , z níž   je neprázdná množina časových okamžiků a   je binární relace, intuitivně   značí tvrzení „  následuje po  ”.

Pro temporální logiku je tedy zamýšlená interpretace relace   ostré (částečné) uspořádání  , u minimální logiky   se však na   žádná omezení nekladou. Ohodnocení proměnných je funkce  , tedy každé dvojici   se přiřadí hodnota True ci False. Model   nad rámcem   je trojice   pro nějaké  .

Formální sémantiku temporálních operátorů tvoří následující dvě klauze (hodnota formule se počítá vůči modelu   a vrcholu  ):

 

Tvrzení   značí, že   je splněna v   ohodnocením  . Definice platnosti v modelu, rámci a třídě rámců je následující:   platí v   právě tehdy, když   je splněna v každém  , formule   platí v   právě tehdy, když   platí v každém modelu nad  , a formule   platí ve třídě rámců   právě tehdy, když   platí v každém  .

DefinovatelnostEditovat

Definice platnosti ve třídě časových rámců umožňuje zkoumat, které třídy rámců jsou „vydělitelné" pomocí některé formule  , případně porovnávat expresivitu jazyka prvořádové logiky a jazyka   logiky temporální. Temporální formule   definuje (charakterizuje) třídu rámců  , pokud   platí právě v každém rámci   ve třídě  . Lze se například ptát, zda existují temporální formule charakterizující částečně uspořádané rámce, lineární rámce, hustě uspořádané lineární rámce, diskrétně uspořádané lineární rámce (jednoznačný následník a předchůdce každého bodu), shora neomezené rámce (každý bod má následníka), dobře uspořádané rámce, úplně uspořádané rámce, a další. Existují prvořádové vlastnosti, které nejsou vyjádřitelné temporální formulí. Jako příklady lze vzít antireflexivitu a antisymetrii. Na druhou stranu existují i vlastnosti rámců definovatelné temporální formulí, které nejsou vyjádřitelné jazykem prvořádové logiky. Důležité příklady jsou spojitost a dobré uspořádání.[2]

Standardní překlad, axiomatizace, úplnostEditovat

Nechť  . Minimální logiku   lze přeložit do klasické predikátové logiky s rovností. Nechť její jazyk   obsahuje jeden binární predikát   a spočetně mnoho unárních predikátů   Potom lze nadefinovat standardní překlad   z jazyka   do   následovně:

 

Proměnná   symbolizuje aktuální stav věcí (přítomnost) a zápis   značí substituci proměnné   za všechny volné výskyty   ve  . Tímto způsobem lze každou formuli temporálního jazyka   přeložit do prvořádové logiky.[3] Ačkoli je studium temporálních logik primárně motivováno strukturami zamýšlenými k popisu, například přirozenými   či racionálními   čísly, jako u všech ostatních logik je k dispozici i deduktivní (axiomatická) stránka. Minimální temporální logika   má kromě vhodných výrokových axiomů následující dvě temporální obdoby modálního axiomu  , dva axiomy stanovující dualitu operátorů   a  , a nakonec tranzitivitu   (a tedy i  ):

 

Kromě pravidla modus ponens (MP) se přidají ještě dvě odvozovací pravidla, obdoby necesitace z modálních logik:

 

  je silně úplná vůči všem časovým rámcům. Důkaz je standardní jako u běžných modálních logik, konstruuje se tzv. kanonický model jakožto protipříklad na danou dvojici   takovou, že  . Tuto základní větu o úplnosti lze zesílit na úplnost vůči všem antisymetrickým rámcům.[4] Důsledek tohoto zesílení je, že neexistuje temporální formule charakterizující právě antisymetrické rámce.

Rozšíření a variantyEditovat

Rozšíření TL na lineárních rámcíchEditovat

Ostré lineární (totální) uspořádání   je antireflexivní a tranzitivní relace taková, že každé dva objekty jsou srovnatelné, tj.  . Ovšem ani tato vlastnost, ani antireflexivita nejsou vyjádřitelné jazykem   . K zachycení žádoucích struktur jako  ,   nebo   se využije následující vlastnosti, která je temporálně charakterizovatelná:

Binární relace   se nevětví do budoucnosti, pokud  , relace   se nevětví do minulosti, pokud  , a   se nevětví, pokud se nevětví do budoucnosti ani do minulosti.

Podmínka, že se struktura nevětví, například nevylučuje seriální lineární přímky. Výhoda však je, že tuto vlastnost lze temporálně vyjádřit následující formulí:

 

Logika   spolu s tímto axiomem se někdy nazývá   a tento systém je silně úplný vůči všem lineárním rámcům.[5] Nabízí se také možnost rozšířit ho o další axiomy, které tyto rámce blíže specifikují. Můžeme požadovat, aby tyto struktury byly hustě či diskrétně uspořádané, aby měly či neměly koncové body, nebo například aby byly Dedekindovsky úplné, tedy aby neobsahovaly „mezery”. Všechny tyto varianty lze vyjádřit jazykem   a ukazuje se, že dané axiomy věrně popisují zamýšlené interpretace.

Racionální čísla   jsou strukturálně spočetné a husté lineární uspořádání bez koncových bodů. Přidáme-li k   axiomy charakterizující hustotu   a neexistenci nejmenšího   a největšího   bodu, dostaneme logiku  . Tato logika je silně úplná vůči všem hustě uspořádaným lineárním rámcům bez koncových bodů. Poslední požadovaná vlastnost, spočetnost, není vyjádřitelná temporálně ani prvořádově. Avšak ze standardního důkazu věty o úplnosti vyjde spočetný protipříklad, neboť jazyk   je také spočetný. A jelikož každé každé spočetné a husté lineární uspořádání bez koncových bodů je izomorfní se strukturou   racionálních čísel, logika   je silně úplná dokonce vůči této struktuře.[6]

Reálná čísla   jsou husté a úplné uspořádání bez koncových bodů, které navíc obsahuje   jako hustě vnořenou podmnožinu. Úplnost uspořádání nelze vyjádřit jazykem prvořádové logiky, ale lze ukázat, že v   ji charakterizuje následující formule (kde   je zkratka za formuli  , intuitivně tedy nutnost jako platnost všude):

 

Logika   rozšířena o tento axiom se nazývá   a je silně úplná vůči všem hustým a spojitým uspořádáním bez koncových bodů. Toto tvrzení lze opět zesílit do té podoby, že   je silně úplná vůči struktuře  .[7]

Diskrétně uspořádaná množina je taková, že každý její prvek (kromě případného maxima a minima) má bezprostředního předchůdce a následníka. Zamýšlená struktura odpovídající spočetnému a diskrétnímu lineárnímu uspořádání bez koncových bodu je  , struktura celých čísel. Existenci bezprostředního předchůdce lze vyjádřit formulí  , existenci bezprostředního následníka formulí  . Logika   spolu s těmito dvěma axiomy tvoří logiku diskrétního času  , která je silně úplná vůči všem diskrétním lineárním rámcům bez koncových bodů. Avšak toto tvrzení oproti předchozím příkladům nelze zesílit na silnou úplnost vůči jedné konkrétní struktuře reprezentující tuto třídu uspořádání, tedy  .[8]

Varianty temporálních logikEditovat

Existuje mnoho systémů, jejichž základ tvoří původní Priorova minimální temporální logika, a které ji tak či onak rozšiřují. Jeden přístup, ilustrovaný v následující sekci, je fixovat strukturu, která tvoří zamýšlenou interpretaci daného systému, a rozšířit   o další symboly a zvýšit tím jeho expresivitu. Jiná možnost je zobecnit uvažované struktury i na nelineární částečná uspořádání. Další se potom týká zobecnění vůbec základních entit, s nimiž temporální logika pracuje, totiž časových jednotek. Původní motivace těchto tří přístupů, které jsou krátce představeny níže, pocházejí primárně z informatiky a filosofie.

Výroková lineární temporální logika LTLEditovat

Jedno významné rozšíření Priorovy minimální logiky, které našlo velké uplatnění v informatice, je takzvaná Lineární temporální logika  . Hlavní motivace stojící za jejím vznikem je hledání vhodného formalismu pro specifikaci a verifikaci korektnosti (potenciálně nekonečných) reaktivních systémů.[pozn. 6] Vzhledem k této aplikaci se jako podkladová struktura uvažuje především dopředu neomezené, diskrétní a reflexivní lineární uspořádání s počátečním stavem. To odpovídá struktuře   přirozených čísel, kde   je reflexivní totální uspořádání.


Základní myšlenka se týká rozšíření jazyka   o dva operátory, unární next time   a binární until  . Intuitivně   značí tvrzení „v příštím stavu  ”, formuli   lze číst jako „ , dokud  ”. Zbytek syntaxe tvoří jazyk  . Je-li   a   ohodnocení atomických formulí na  , lze sémantiku těchto operátorů formálně zachytit následujícími formulemi:

 

kde   značí  -tého následníka  . Temporální operátory   a   (případně   a   ) jsou nad   vyjádřitelné pomocí until, například   lze zapsat jako  , ale until jazykem   vyjádřitelné není. Jako příklad tvrzení formalizovatelného pomocí until lze vzít věty typu “pokud  , pak   dokud  ”. Tedy například větu „nastane-li stav pohotovosti, je spuštěn alarm dokud nebezpečí nepomine”[pozn. 7] lze zapsat jako

 

Nelineární uspořádáníEditovat

Podmínka, že minulost plně určuje veškerou budoucnost, není samozřejmá. Z hlediska modelování toku času dává dobrý smysl uvažovat i obecnější struktury, které umožňují větvení do budoucnosti, a tedy otevírají cestu budoucím alternativám. Tato základní úvaha stojí za logikami, jejichž modely tvoří stromové struktury. Podle zamýšlené interpretace formule   na těchto strukturách, „v jakékoli možné budoucnosti  ” a „v reálné budoucnosti  ” se odlišují dva základní přístupy k logikám „větvícího času” (branching-time logic), Peircův a Ockhamův.

První interpretace „někdy v budoucnosti  ” kvantifikuje přes všechny možné budoucnosti, reprezentované na dané struktuře maximálními větvemi. Jde tedy o druhořádovou definici zachycující ideu, že nezávisle na tom, co se stane,   bude platit.

Ockhamova interpretace naproti tomu relativizuje hodnotu formule navíc vůči jedné konkrétní větvi reprezentující realitu. Takto lze formálně zachytit tu ideu, že hodnota formule závisí jak na přítomnosti, tak na té budoucnosti, která je fixována.[9]

Interval jako základní pojemEditovat

Časové body jako primitivní entity lze napadat z různých pohledů. Zaprvé jde o velmi abstraktní objekty, se kterými nemáme přímou zkušenost. Jiný způsob kritiky jde vést tím směrem, že některé temporální vlastnosti typicky nejsou připisovány fixním okamžikům, ale intervalům (periodám). Dvě události se například mohou překrývat, tedy mohou mít společný průnik, který ale nemusí být pojatý diskrétně jako množina bodů.

Zatřetí lze odmítnutí reprezentace času jako sestávajícího z množiny diskrétních bodů motivovat různými typy paradoxů, ze kterých patrně nejslavnějším je Zenonův paradox letícího šípu. Předpokládáme-li, že se čas skládá z množiny nerozlehlých okamžiků, pak pokud se fixuje libovolný takový moment, šíp se nehýbe. Souhrn těchto okamžiků, v jejichž rámci pohyb neexistuje, neboť nemají žádnou extenzi, pohybu vzniknout nedá. Tento argument má mít za cíl ukázat, že pohyb neexistuje. Jeden z jeho podstatných předpokladů je však to, že tok času je tvořen množinou neextenzivních okamžiků.

Tyto (a jiné) úvahy stojí za vznikem přístupů k modelování času, které za základní jednotky berou intervaly (periody). Nabízejí se dvě možnosti. Jedna je chápat intervaly sice formálně jako odvozené pomocí dvou hraničních bodů (t.j. interval   na lineární množině   lze zapsat jako  , kde   a   jsou prvky  ), avšak pracovat s těmito intervaly jako objekty per se. Druhá možnost je vzít za prvky podkladové množiny přímo intervaly se souborem relevantních vztahů. Příklady takových vztahů, které lze mezi intervaly uvažovat, jsou precedence, inkluze nebo překrývání (overlapping).[10]

OdkazyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Zásadní publikace jsou A.N. Prior. Time and Modality. John Locke lectures. Clarendon Press,1957, a A.N. Prior. Past, Present and Future. Oxford Books. OUP Oxford, 1967.
  2. Např. M. Perloff N. Belnap and M. Xu. Facing the Future: Agents and Choices in Our Indeterminist World. Oxford University Press on Demand, 2001..
  3. Priorovy motivace byly jak lingvistické, tak filosofické.
  4. Viz D. Gabbay, C. Hogger, and J. Robinson, editors. Handbook of logic in artificial intelligence and logic programming (Vol. 4): epistemic and temporal reasoning. Oxford University Press, 1995..
  5. Původní článek je A. Pnueli. The temporal logic of programs. 18th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pages 46–57, 1977.
  6. Viz E. Allen Emerson. Temporal and modal logic. In Handbook of theoretical computer science, pages 995–1072. Elsevier, 1995.
  7. Příklad je z V. Goranko and A. Rumberg. Temporal Logic. In Edward N. Zalta, editor, The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University, Summer 2020 edition, 2020. Sekce 11.1.

ReferenceEditovat

  1. V. Goranko and A. Rumberg. Temporal Logic. In Edward N. Zalta, editor, The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab,Stanford University, Summer 2020 edition, 2020. https://plato.stanford.edu/entries/logic-temporal/.Sekce[nedostupný zdroj] 3.1.
  2. Y. Venema. Temporal logic. In The Blackwell Guide to Philosophical Logic, chapter 10. John Wiley & Sons, Ltd, 2017. Kap. 3.
  3. V. Goranko and A. Rumberg. Temporal Logic. In Edward N. Zalta, editor, The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University, Summer 2020 edition, 2020. Sekce 3.3.
  4. L. Běhounek. Formálnı́ sémantika logiky modalit. In Vojtěch Kolman,editor, Možnost, skutečnost, nutnost. Filosofia, Praha, 2005. Str. 81.
  5. D.H.J. de Jongh and F.Veltman. Intensional logics, 1988. Lecture notes. https://staff.fnwi.uva.nl/f.j.m.m.veltman/papers/FVeltman-intlog.pdf. Sekce 5.2.2.
  6. Id., sekce 5.3.1.
  7. Id., sekce 5.3.2.
  8. Id., sekce 5.3.4.
  9. Y. Venema. Temporal logic. In The Blackwell Guide to Philosophical Logic, chapter 10. John Wiley & Sons, Ltd, 2017. Kap. 4.
  10. Id., kap. 5.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat