Otevřít hlavní menu

Matematické kyvadlo

idealizovaný matematický model kyvadla
Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelem kyvadla. U matematického kyvadla se zkoumá pouze hmotný bod zavěšený na tenkém vlákně zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a gravitační pole se považuje za homogenní. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, tedy zařízení, které po dodání počáteční energie volně kmitá. Při malých výchylkách (do asi ±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit pomocí funkce sinus.

Matematický popisEditovat

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost výsledné síly je

 ,

kde   je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy. Diferenciální rovnice pro popis pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

 ,

kde   je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy   malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí

 .

Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)

 

Tato rovnice má partikulární řešení

 ,

kde   je počáteční úhlová výchylka (předpokládáme nulovou počáteční rychlost, takže je to zároveň maximální výchylka) a   je čas, což je pohybová rovnice harmonického oscilátoru s periodou

 .

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv.

Reálné kyvadloEditovat

Související informace naleznete také v článku Fyzikální kyvadlo.

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba eliptický integrál I. druhu

 

pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu  

 

Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

 .

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

Redukovaná délkaEditovat

Délka   matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

 ,

kde   představuje redukovanou délku kyvadla,   je hmotnost tělesa,   je vzdálenost závěsu od těžiště a   je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Reverzní kyvadloEditovat

 
Reverzní kyvadlo.

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení   a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod  . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem   má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě  .

Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm   a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu  , pak redukovaná délka je

 ,

kde   označuje vzdálenost těžiště od bodu  .

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu  , platí podle Steinerovy věty

 

Pro redukovanou délku dostaneme

 

Z předchozích vztahů pak plyne

 

Redukovaná délka pro osu   je tedy stejná jako pro původní osu  .

Pokud je těleso zavěšeno v bodě  , který je od bodu   vzdálen o redukovanou délku  , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

 .

Související článkyEditovat