Impedance

Impedance je fyzikální veličina vyjádřená komplexním číslem (obsahuje reálnou a imaginární složku) popisující zdánlivý odpor součástky a fázový posuv napětí proti proudu při průchodu harmonického střídavého elektrického proudu dané frekvence. Podobně, jako elektrický odpor charakterizuje vlastnosti prvku pro stejnosměrný proud, impedance charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických obvodů. Termín impedance se používá také pro samotný jednobran (prvek nebo obvod se dvěma vývody), který má určitou impedanci.

Značení

Jelikož je impedance komplexní veličina, značí se jako vektor $\mathbf {Z}$. Jednotka impedance je shodná s jednotkou elektrického odporu a reaktance (induktance, kapacitance), kterou je ohm $\Omega$. Jde o poměr napětí a proudu. Na rozdíl od elektrického odporu, kde je napětí s proudem ve fázi, u impedance mohou být fázově posunuty.

Vyjádření impedance

Jde o poměr napětí a proudu, kde napětí i proud jsou fázory.

$\mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}$

Protože je impedance komplexní veličina, má dvě složky, reálnou a imaginární. Reálnou složku vynášíme na reálnou osu v komplexní rovině a imaginární složku vynášíme na imaginární osu v komplexní rovině.

Impedance jako komplexní veličina

Z charakteristiky vidíme, že platí (imaginární jednotka se zde namísto $\mathrm {i}$ značí $\mathrm {j}$, jak je v elektrotechnice zvykem, aby se nepletlo s častějším označením elektrického proudu):

$\mathbf {Z} =R+\mathrm {j} X=|\mathbf {Z} |\cos \varphi +\mathrm {j} |\mathbf {Z} |\sin \varphi$

Polární zápis:

$\mathbf {Z} =|\mathbf {Z} |e^{\mathrm {j} \varphi }$

Absolutní hodnotu impedance vypočteme pomocí Pythagorovy věty:

$|\mathbf {Z} |={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}$

Převrácená hodnota impedance se nazývá admitance. Značí se Y a platí:

$\mathbf {Z} ={\frac {1}{Y}}$

Impedance přenosové trasy Každý elektrický (metalický) datový vodič má svůj vlastní elektrický odpor (R), indukčnost (L), kapacitu (C) a svodovou vodivost jeho izolace (G). Celkový vliv těchto faktorů se charakterizuje impedancí danou vztahem:

$Zo={\sqrt {\frac {R+\mathrm {j} \omega L}{G+\mathrm {j} \omega C}}}$

Zo má velice významné využití- např. impedance u koaxiálních kabelů.

Impedance ideálních základních pasivních prvků

Impedance odporu: $Z=R\,\!$

Impedance cívky: $Z=\mathrm {j} \omega L\,\!$ , kde L je indukčnost cívky a ω je úhlová frekvence.

Impedance kondenzátoru: $Z={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}$, kde C je kapacita kondenzátoru a ω je úhlová frekvence.

Impedance závisí na frekvenci, protože $\omega =2\pi f\,\!$, kde f je frekvence.

Odvození vzorce pro impedanci

Napětí a proud můžeme vyjádřit v případě střídavého proudu vztahy

$i=I_{max}\cos {(\omega t)}$; $u=U_{max}\cos {(\omega t+\phi )}$

kde $\phi$ je fázový rozdíl napětí a proudu. Pokud tyto vztahy srovnáme s Eulerovým vzorce, uvidíme jistou podobnost - napětí i proud můžeme reprezentovat jako reálnou část komplexních exponenciál:

$i=I_{max}e^{j(\omega t)}$; $u=U_{max}e^{j(\omega t+\phi )}$

kde j je imaginární jednotka. Impedanci poté vyjadřujeme jednoduše z Ohmova zákona:

$Z={\frac {u}{i}}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }$

Rezistor

U rezistoru je fázový posun $\phi =0$ a proto vychází z Ohmova zákona resistance (impedance osamoceného rezistoru):

$Z_{R}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}=R$

Cívka

Cívka, která má indukčnost L a prochází jí proud i, indukuje napětí:

$U_{i}=-{\frac {\operatorname {d} \!\Phi }{\operatorname {d} \!t}}=-{\frac {\operatorname {d} \!(Li)}{dt}}=-L{\frac {\operatorname {d} \!i}{\operatorname {d} \!t}}=-L{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}(I_{max}\sin {(\omega t)})=-LI_{max}\omega \cos {(\omega t)}$

Z tohoto vztahu je očividné, že maximální napětí, které cívka indukuje, je $\omega LI_{max}$. Při zapojení cívky do obvodu střídavého proudu je fázový rozdíl $\phi =\pi /2$. Po dosazení všeho, co víme, dostaneme:

$Z_{L}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }={\frac {\omega LI_{max}}{I_{max}}}e^{j({\frac {\pi }{2}})}=j\omega L$

Tím jsme odvodili vztah pro induktanci (jinak nazývanou indukční reaktance).

Kondenzátor

Kondenzátor, který má kapacitu C, se při napětí U nabije nábojem Q, který je daný vztahem:

$Q=CU=\int i\operatorname {d} \!t$

kde jsme u integrálu využili toho, že proud popisuje, kolik náboje v daný čas prochází kondenzátorem - sečtením podle času tedy dostaneme celkový náboj, který se na kondenzátor dostal. Tento integrál vypočítáme:

$\int i\operatorname {d} \!t=\int I_{max}\cos {(\omega t)}\operatorname {d} \!t=I_{max}\int \cos {(\omega t)}\operatorname {d} \!t={\frac {I_{max}}{\omega }}\sin {(\omega t)}$

Ze vztahu pro náboj tedy dostaneme napětí:

$U={\frac {I_{max}}{C\omega }}\sin {(\omega t)}$

Je očividné, že maximální napětí bude $I_{max}/C\omega$. Vím, že fázový rozdíl po zapojení kondenzátoru do obvodu se střídavým proudem je $\phi =-\pi /2$. Dosadíme tedy vše, co víme, do rovnice pro impedanci a dostaneme:

$Z_{C}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }={\frac {I_{max}}{I_{max}\omega C}}e^{-j{\frac {\pi }{2}}}=-j{\frac {1}{\omega C}}$

Tím dostáváme vztah pro kapacitanci (neboli kapacitní reaktanci).

Reaktance

Reaktance je veličina daná součtem kapacitní a indukční reaktance:

$X=X_{C}+X_{L}=\Im (Z_{C}+Z_{L})=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}$

a jde také o imaginární část impedance.

Impedance

Je dána součtem impedancí rezistoru, cívky a kondenzátoru:

$Z=R+j{\Bigl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\Bigl )}=R+jX$

Zjevně pro velikost impedance platí:

$|Z|={\sqrt {R^{2}+{\Bigl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\Bigl )}^{2}}}$

Fázový posun napětí oproti proudu můžeme vypočítat ze vztahu

$\phi =\arctan {{\Bigl (}{\frac {X}{R}}{\Bigl )}}$.

Spojování impedancí

Impedance se spojují stejně jako odpory, jen s tím rozdílem, že jsou to komplexní čísla.

Sériové spojování impedancí

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}=(R_{1}+R_{2})+\mathrm {j} (\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2})\quad$

Paralelní spojování impedancí

$\mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}\|\mathbf {Z} _{2}=\left(\mathbf {Z} _{1}^{-1}+\mathbf {Z} _{2}^{-1}\right)^{-1}={\mathbf {Z} _{1}\mathbf {Z} _{2} \over \mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}}\quad$

Měření impedancí

Při měření impedance musíme napájet obvod vždy střídavým sinusovým proudem, protože v případě proudu stejnosměrného bychom měřili pouze činnou složku impedance, tj. ohmický odpor.

Měření voltmetrem, ampérmetrem a wattmetrem

Vztahy

Podíl efektivních hodnot napětí a proudu nám dá absolutní hodnotu impedance.

$|\mathbf {Z} |={\frac {U}{I}}$

Velikost fázového posunu

$\ P=UI\cos \varphi$

Velikost činného odporu

$P=RI^{2}=>R={\frac {P}{I^{2}}}$

Velikost reaktance

$X=|\mathbf {Z} |\sin \varphi$

Velikost vlastní indukčnosti (pro induktivní charakter zátěže)

$L={\frac {X}{2\pi f}}$

Velikost elektrické kapacity (pro kapacitní charakter zátěže)

$\ C={\frac {1}{2\pi fX}}$

Hraniční impedance

Velikost hraniční impedance určuje, zda je vhodnější použít zapojení pro malé nebo pro velké impedance.

$|\mathbf {Z_{h}} |\approx {\sqrt {(R_{A}+R_{WP}){\frac {R_{V}R_{WN}}{R_{V}+R_{WN}}}}}$

$R_{A}$ - vnitřní odpor ampérmetru

$R_{V}$ - vnitřní odpor voltmetru

$R_{WP}$ - vnitřní odpor proudové cívky wattmetru

$R_{WN}$ - vnitřní odpor napěťové cívky wattmetru

Tato metoda není přesná, protože velikosti jednotlivých složek zjišťujeme více výpočty. Používá se pouze pro orientační měření.

Zapojení pro měření malých impedancí

Zapojení pro měření velkých impedancí

Metoda tří ampérmetrů

Neznámou impedanci $Z_{x}$ zapojíme paralelně se známým odporovým normálem $R_{N}$. Třemi ampérmetry měříme efektivní hodnoty proudů v jednotlivých větvích i proud celkový. Metoda tří ampérmetrů je nejpřesnější, jsou-li proudy $I_{R}$ a $I_{Z}$ stejně velké a fázový posun způsobený měřenou impedancí je velký.

Velikost napětí

$\mathbf {U} =\mathbf {Z_{x}} \mathbf {I_{Z}} =R_{N}\mathbf {I_{R}}$

Velikost absolutní hodnoty impedance

$\mathbf {|Z_{x}|} ={\frac {RI_{R}}{I_{Z}}}$

Podle prvního Kirchhoffova zákona platí

$\mathbf {I} =\mathbf {I_{R}} +\mathbf {I_{Z}}$

Podle fázorového diagramu platí pro úhel $\varphi '$ kosinová věta

$I^{2}=I_{Z}^{2}+I_{R}^{2}-2I_{R}I_{Z}\cos \varphi '$

Pro $\cos \varphi '$ platí

$\cos \varphi '=-{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}$

Pro úhel $\varphi$ platí

$\ \varphi =180-\varphi '$

Pro $\cos \varphi$ platí

$\ \cos \varphi =-\cos \varphi '$

$\cos \varphi ={\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}$

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

$\ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi$

$\ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi$

Pro činný výkon na zátěži platí:

$P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi =R_{N}I_{R}I_{Z}{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}={\frac {R_{N}}{2}}(I^{2}-I_{R}^{2}-I_{Z}^{2})$

Metoda tří voltmetrů

Měřená impedance $Z_{x}$ je zapojena v sérii s odporovým normálem $R_{N}$. Pomocí tří voltmetrů měříme efektivní hodnoty úbytků napětí na normálu, na měřené impedanci a napětí celkové.

Podle fázorového diagramu platí pro úhel $\varphi '$ kosinová věta

$U^{2}=U_{Z}^{2}+U_{R}^{2}-2U_{R}U_{Z}\cos \varphi '$

Pro $\cos \varphi '$ platí

$\cos \varphi '=-{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}$

Pro úhel $\varphi$ platí

$\ \varphi =180-\varphi '$

Pro $\cos \varphi$ platí

$\ \cos \varphi =-\cos \varphi '$

$\cos \varphi ={\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}$

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

$\ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi$

$\ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi$

Pro činný výkon na zátěži platí:

$P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi ={\frac {U_{Z}U_{R}}{R_{N}}}{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}={\frac {U^{2}-U_{R}^{2}-U_{Z}^{2}}{2R_{N}}}$

Hraniční impedance

Zda máme použít k měření impedance metodu tří ampérmetrů nebo voltmetrů rozhodne hodnota hraniční impedance. Pro určení její velikosti platí vztah:

$\mathbf {Z_{h}} \approx {\sqrt {R_{A}R_{V}}}$

$R_{A}$ - vnitřní odpor ampérmetrů

$R_{V}$ - vnitřní odpor voltmetrů

Je-li $|\mathbf {Z_{x}} |<|\mathbf {Z_{h}} |$, je pro měření vhodnější metoda tří voltmetrů, pro $|\mathbf {Z_{x}} |>|\mathbf {Z_{h}} |$ je pro měření vhodnější metoda tří ampérmetrů.

Obecný můstek

Obecný můstek

Jde o obdobu Wheatstoneova můstku pro měření odporů. Pokud je v některé z podmínek rovnováhy zastoupena frekvence, je můstek frekvenčně závislý a lze ho použít nejen k měření impedancí, ale také k měření frekvencí. Pro měření impedancí jsou výhodnější, frekvenčně nezávislé můstky. Střídavé můstky jsou napájeny z oscilátoru. Nulové indikátory (NI) indikují vyvážení můstku. K tomu se nejčastěji používá osciloskop. Abychom omezili vnější rušivé vlivy, musí být můstky pečlivě zeměny a stíněny.

Podmínka rovnováhy

$\mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} =\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}}$

$\mathbf {Z} =R\pm \mathrm {j} X$

Dosadíme-li za jednotlivé hodnoty impedancí hodnoty v exponenciálním tvaru, bude platit:

$\mathbf {Z_{1}} e^{\mathrm {j} \varphi _{1}}\mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} \varphi _{4}}=\mathbf {Z_{2}} e^{\mathrm {j} \varphi _{2}}\mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} \varphi _{3}}$

$\mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{1}+\varphi _{4})}=\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{2}+\varphi _{3})}$

Když tuto rovnici rozdělíme na dvě skalární, dostaneme dvě podmínky rovnováhy.

$|\mathbf {Z_{1}} ||\mathbf {Z_{4}} |=|\mathbf {Z_{2}} ||\mathbf {Z_{3}} |$

$\ \varphi _{1}+\varphi _{4}=\varphi _{2}+\varphi _{3}$

Číslicové měřiče impedancí

Číslicové měřiče impedancí mohou pracovat na různých principech, často se využívá převodník impedance-napětí nebo převodník admitance-napětí s využitím operačních zesilovačů.

Impedance a norma

S impedancí se lze také setkat při posuzování bezpečnosti elektrických instalací nn (například při revizích). Podmínky pro impedanci sítě TN (běžný druh sítě, nejčastěji používaný, např. i v bytových instalacích), stanoví ČSN 33 2000-4-41 ed.2 v článku 411.4.4. (dříve stará, dnes již neplatná ČSN 33 2000-4-41 v článku 413.1.3.3). Velikost impedance sítě TN určuje bezpečnost instalace tím, že je směrodatná pro rychlost vypnutí předřazeného jisticího přístroje (pojistka, jistič apod.). Aby jistící přístroj vypnul při poruše v dostatečně krátkém čase, musí být impedance dostatečně nízká. Podrobněji viz výše uvedená ČSN.

Odkazy

Literatura

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 2., opravené a rozšíření vyd. Praha: Academia, 2002. 632 s. ISBN 80-200-1004-1. 
• Elektrotechnická měření. 1. vyd. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2002. 256 s. ISBN 80-7300-022-9. 
• BLAHOVEC, Antonín. Elektrotechnika II. 4., nezměněné vyd. Praha: Informatorium, 2003. 156 s. ISBN 80-7333-013-X. 
• DOLEČEK, Jaroslav. Moderní učebnice elektroniky. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2005. 344 s. ISBN 80-7300-146-2. 

Související články

• Elektřina
• Admitance
• Induktance
• Kapacitance
• Reaktance
• Kondenzátor
• Cívka
• Elektrický odpor
• Rezonanční obvod

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu impedance na Wikimedia Commons
• Měření impedance (česky)
• Vysvětlení impedance (anglicky)

Autoritní data	GND: 4128475-6 LCCN: sh85064610 MA: 17829176 NDL: 00564146 PSH: 2514