Kosinová věta

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.

Trojúhelník ABC

Pro každý trojúhelník s vnitřními úhly a stranami platí:

Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta: pak a tudíž .

Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají.

DůkazEditovat

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany   trojúhelníku   je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu   (ostrý, pravý a tupý):

  • Je-li   ostrý a bod   patou výšky  , pak bod   náleží straně   (pokud ne, prohodíme označení bodů   a  ). Vzdálenost paty   od bodu   označíme  . Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a  , lze psát
 
 
 
 
  • Je-li   pravý, pak podle Pythagorovy věty je
 
Protože je  , je  , a pak
 , pak tedy
 
  • Je-li   tupý a bod   patou výšky  , pak bod   leží mimo  . Vzdálenost paty   od bodu   označíme  . Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a   a dále   a   lze psát
 .
Což je totéž, jako v případě, že je úhel   ostrý a tedy
 .

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníkuEditovat

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

 

 
Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

 

kde

  •   jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
  •   je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
  •   je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako  , je-li e v úhlové míře, resp.  , je-li   ve stupních.

Související článkyEditovat