Otevřít hlavní menu
Trojúhelník ABC

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran.

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak a tudíž .

Větu lze mimo jiné použít v případě, že jsou dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany.

DůkazEditovat

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skálárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu α (ostrý, pravý a tupý):

  • Je-li α ostrý a bod P patou výšky vc, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a  , lze psát
 
 
 
 
  • Je-li α pravý, pak podle Pythagorovy věty je
 
Protože je α = π/2, je  , a pak
 - 0 , pak tedy
 
  • Je-li α tupý a bod P patou výšky vc, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a   a dále   a   lze psát
 .
Což je totéž, jako v případě, že je úhel α ostrý a tedy
 .

Související článkyEditovat