Kosinová věta

zobecnění Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran. Podle kosinové věty pro každý rovinný s vnitřními úhly a stranami platí:

Úhly v α (u vrcholu A), β (u vrcholu B), a γ (u vrcholu C) jsou proti stranám a, b, c.

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta, která však platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Protože pro pravý úhel je , tak je třetí člen na pravé straně rovnice nulový a z kosinové věty zbyde jen zkrácený zápis odpovídající Pythagorově větě: (a podobně pro zbývající dvě varianty, kde je pravý úhel u jiného vrcholu). Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Kosinovou věta je používána k výpočtu vnitřních úhlů obecného trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran nebo pro výpočet, kdy jsou známy dvě strany a úhel, který svírají.

Historie editovat

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII.[1][2] Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:

Úloha XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmice, a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.

Eukleidés, Eukleidovy Základy, překlad František Servít.[2]

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý   jež má tupý úhel   a z vrcholu   je vedena kolmice   na prodlouženou stranu  , takto:

 

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Jamshid al-Kashi první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.[3][4][5][6]

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz editovat

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany   trojúhelníku   je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu   (ostrý, pravý a tupý):

  • Je-li   ostrý a bod   patou výšky  , pak bod   náleží straně   (pokud ne, prohodíme označení bodů   a  ). Vzdálenost paty   od bodu   označíme  . Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a  , lze psát
 
 
 
 
  • Je-li   pravý, pak podle Pythagorovy věty je
 
Protože je  , je  , a pak
 , pak tedy
 
  • Je-li   tupý a bod   patou výšky  , pak bod   leží mimo  . Vzdálenost paty   od bodu   označíme  . Pak podle Pythagorovy věty je
 .
Protože dále platí, že   a   a dále   a   lze psát
 .
Což je totéž, jako v případě, že je úhel   ostrý a tedy
 .

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku editovat

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

 

 
Ortodroma

Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

 

kde

  •   jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
  •   je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
  •   je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako  , je-li e v úhlové míře, resp.  , je-li   ve stupních.

Související články editovat

Odkazy editovat

Reference editovat

  1. EUCLID. Elements [online]. Redakce Thomas L. Heath; překlad Thomas L. Heath. [cit. 2023-01-24]. Dostupné online. (anglicky) 
  2. a b VOPĚNKA, Petr; SERVÍT, František. Eukleides, Základy. 2. vyd. Nymburk: OPS, 2008. 154 s. ISBN 978-80-903773-7-0. S. 92. 
  3. Programme de mathématiques de première générale [online]. Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, 2019-08-22 [cit. 2023-03-17]. S. 11,12. Dostupné online. 
  4. PICKOVER, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. [s.l.]: Sterling Publishing Company, Inc., 2009. Dostupné online. ISBN 9781402757969. S. 106. (anglicky) 
  5. IGARASHI, Yoshihide; ALTMAN, Tom; FUNADA, Mariko; KAMIYAMA, Barbara. Computing : A Historical and Technical Perspective. Boca Raton, Florida: CRC Press, 2014. ISBN 978-1-4822-2741-3. OCLC 882245835 S. 78. (anglicky) 
  6. BARUKČIĆ, Ilija. Causality: A Theory of Energy, Time and Space. 8th. vyd. [s.l.]: Lulu Press, November 7, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-4092-2954-4. S. 174. (anglicky) 

Související články editovat

Externí odkazy editovat