Kosinová věta
V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran. Podle kosinové věty pro každý rovinný s vnitřními úhly a stranami platí:[1]
Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta, která však platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Protože pro pravý úhel je , tak je třetí člen na pravé straně rovnice nulový a z kosinové věty zbyde jen zkrácený zápis odpovídající Pythagorově větě: (a podobně pro zbývající dvě varianty, kde je pravý úhel u jiného vrcholu). Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.
Kosinová věta je používána k výpočtu vnitřních úhlů obecného trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran nebo pro výpočet, kdy jsou známy dvě strany a úhel, který tyto strany svírají.
Historie
editovatAčkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII.[2][3] Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:
Úloha XII.
V trojúhelnících tupoúhlých čtverec strany proti úhlu tupému větší jest nežli čtverce stran tupý úhel svírajících o dvojnásobný pravoúhelník sevřený jedním ramenem úhlu tupého, na něž dopadá kolmice, a vnější úsečkou při úhlu tupém, již kolmice omezuje.Eukleidés, Eukleidovy Základy, překlad František Servít.[3]
Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý , jenž má tupý úhel a z vrcholu je vedena kolmice na prodlouženou stranu , takto:
Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Jamshid al-Kashi první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.[4][5][6][7]
V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.
Důkaz
editovatTvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):
- Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a , lze psát
- Je-li pravý, pak podle Pythagorovy věty je
- Protože je , je , a pak
- , pak tedy
- Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je
- .
- Protože dále platí, že a a dále a lze psát
- .
- Což je totéž, jako v případě, že je úhel ostrý a tedy
- .
Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku
editovatVe sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:
Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):
kde
- jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst
- je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst
- je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li e v úhlové míře, resp. , je-li ve stupních.
Související články
editovatOdkazy
editovatReference
editovat- ↑ MOTYČKOVÁ, Marie. Kosinová věta. www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. 2006 [cit. 2024-06-14]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2024-02-25.
- ↑ EUCLID. Elements [online]. Redakce Thomas L. Heath; překlad Thomas L. Heath. [cit. 2023-01-24]. Dostupné online.
- ↑ a b VOPĚNKA, Petr; SERVÍT, František. Eukleides, Základy. 2. vyd. Nymburk: OPS, 2008. 154 s. ISBN 978-80-903773-7-0. S. 92.
- ↑ Programme de mathématiques de première générale [online]. Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse, 2019-08-22 [cit. 2023-03-17]. S. 11,12. Dostupné online.
- ↑ PICKOVER, Clifford A. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. [s.l.]: Sterling Publishing Company, Inc., 2009. Dostupné online. ISBN 9781402757969. S. 106. (anglicky)
- ↑ IGARASHI, Yoshihide; ALTMAN, Tom; FUNADA, Mariko; KAMIYAMA, Barbara. Computing : A Historical and Technical Perspective. Boca Raton, Florida: CRC Press, 2014. ISBN 978-1-4822-2741-3. OCLC 882245835 S. 78.
- ↑ BARUKČIĆ, Ilija. Causality: A Theory of Energy, Time and Space. 8th. vyd. [s.l.]: Lulu Press, November 7, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-4092-2954-4. S. 174.
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinová věta na Wikimedia Commons