Trojúhelník ABC

trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“


Větu lze ovšem zformulovat také takto:

, či takto: , nebo takto: ,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

  • Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
  • Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Důkaz větyEditovat

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak

 

a zároveň

 .

Pak tedy

 ,

což je totéž jako

 .

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Průměr kružnice opsané trojúhelníkuEditovat

Konstantní poměr délky strany a sinu protilehlého úhlu je roven průměru kružnice trojúhelníku opsané:

 

z čehož lze odvodit její poloměr

 .

Související článkyEditovat