Otevřít hlavní menu

Gaussova funkce

(přesměrováno z Gaussova křivka)
Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné se třemi parametry ve tvaru

Čísla a musí být kladná, je libovolné reálné, je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě vrchol o výšce , který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr určuje šířku „kopce“ ve výšce . V polovině výšky má graf šířku .

Normalizované funkceEditovat

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

 

Tuto tzv. normalizační podmínku můžeme splnit vhodnou volbou konstanty  . Nejjednodušší gaussovskou funkcí je  , jejíž integrál je roven   (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

 

Parametr   pouze posouvá graf podél osy  , takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr   graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem  . Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

 

Parametr   má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr   je směrodatná odchylka.

Fourierova transformaceEditovat

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při   je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

 

Je-li navíc  , je Gaussova funkce obrazem sama sebe ( ), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

 

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat