Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce přes celou reálnou osu:

Graf funkce a plochy mezi funkcí a osou ; tato plocha se rovná
.

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

editovat

Integrál Gaussovy funkce označíme  :

 .

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme  :

 .

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

 .

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi  . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic  , do kterých funkci přepíšeme:

 .

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí   a jeho hodnota je  . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

 .

Reference

editovat

Literatura

editovat
  • Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6

Související články

editovat