Gaussův integrál
Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce přes celou reálnou osu:
- .
Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.
Výpočet
editovatIntegrál Gaussovy funkce označíme :
- .
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme :
- .
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:
- .
Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic , do kterých funkci přepíšeme:
- .
Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí a jeho hodnota je . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:
- .
Reference
editovat- ↑ Пуассона интеграл Archivováno 28. 8. 2009 na Wayback Machine., БСЭ
Literatura
editovat- Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6