Podobnost matic

O dvou maticích A a B řekneme, že jsou podobné, pokud existuje regulární matice S tak, že platí:

$\!A=SBS^{-1}$.

Je zřejmé, že každá matice je podobná sama sobě (za S zvolme jednotkovou matici).

Motivace

Mějme lineární zobrazení f z prostoru V do V. Reprezentujeme ho maticí B vzhledem k bázi Bz₁. Chceme ho vyjádřit maticí A vzhledem k bázi Bz₂, když známe matici přechodu S od Bz₁ k Bz₂. Potom matice tohoto zobrazení je A = SBS⁻¹ (S⁻¹ převede souřadnice vektoru k bázi Bz₁, B ho zobrazí a S převede souřadnice zpět do Bz₂). A a B představují stejné zobrazení f, jen vůči různým bázím.

Diagonalizovatelnost

O matici A řekneme, že je diagonalizovatelná, právě když je podobná nějaké diagonální matici. Matice nxn je diagonalizovatelná, právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů.

Např. každá symetrická matice je diagonalizovatelná. Pokud má matice různá vlastní čísla, potom je diagonalizovatelná (nemusí to platit obráceně, např. jednotková matice je diagonalizovatelná a všechna její vlastní čísla jsou rovna 1).

Jordanova normální forma

Jak je vidět výše, ne každá matice je podobná nějaké diagonální matici. Ovšem každá komplexní matice je podobná „skoro diagonální matici“ – tzv. Jordanově normální formě (jde o diagonální matici, která občas má jedničky nad diagonálou).

Navíc, dvě komplexní matice jsou si podobné právě když mají stejnou Jordanovu normální formu (až na pořadí buněk). Jordanova normální forma tedy řeší problém invariance pro podobnost komplexních matic.

Vlastnosti

Podobnost matic je relace ekvivalence.

Jednotková matice je podobná pouze sama sobě, zřejmě

$I=SIS^{-1}.$

Podobné matice mají stejná vlastní čísla, zřejmě

${\begin{array}{rcl}Ax&=&\lambda x,\\SBS^{-1}x&=&\lambda x,\\BS^{-1}x&=&\lambda S^{-1}x,\\Bw&=&\lambda w,\qquad \qquad {\text{kde}}\quad w=S^{-1}x.\end{array}}$

Z toho plyne, že mají společnou také hodnost, determinant, stopu, charakteristický polynom, atd. Opačné tvrzení však neplatí, např. matice

$\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right],\quad \left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right],$

mají stejná vlastní čísla, ale nejsou podobné.

Portály: Matematika