Alef 0

$\aleph _{0}$ (Alef 0) (ve stejném významu se používá též $\,\omega _{0}$ či jen $\,\omega$) je nejmenší nekonečné ordinální i kardinální číslo.

Vlastnosti

$\aleph _{0}$ je

• limitní ordinál a limitní kardinál
• regulární ordinál
• mohutností množiny přirozených, racionálních i algebraických čísel
• nejmenší hodnotou funkce alef

Značení

V současné době jsou všechna tři značení pro nejmenší nekonečný ordinál (tj. $\aleph _{0},\omega _{0},\omega$) považována za v podstatě rovnocenná. Z historických důvodů ovšem bývá zvykem používat značení

• $\,\aleph _{0}$ pokud hovoříme o tomto čísle jako o čísle kardinálním,
• $\,\omega _{0}$ a $\,\omega$ pokud o něm hovoříme jako o čísle ordinálním, přičemž index 0 se většinou užívá tehdy, uvažujeme-li toto číslo v kontextu vyšších počátečních ordinálních čísel.

Toto značení má své historické opodstatnění. V počátcích naivní teorie množin byla ordinální a kardinální čísla chápána jako typy dobrých uspořádání resp. mohutností množin, tedy jako odlišné objekty, které spolu nemají nic společného. Ordinální číslo $\omega$ bylo chápáno jako typ dobrého uspořádání množiny přirozených čísel, tj. jako typ uspořádání, které je limitou typů uspořádání konečných množin. Odtud zřejmě pochází označení $\omega$ posledním písmenem řecké abecedy. Naopak kardinální číslo $\aleph _{0}$ je nejmenším z řady typů nekonečných velikostí. Odtud pochází označení $\aleph _{0}$ prvním písmenem hebrejské abecedy (nejvyšší mohutnost, mohutnost třídy všech kardinálních čísel označil Georg Cantor posledním písmenem hebrejské abecedy ת (taf)).

Související články

• Funkce alef
• Epsilon 0
• Taf (číslo)

Portály: Matematika