Funkce alef

matematická funkce

Funkce Alef (značená a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu přiřadí kardinální číslo představující -tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvodEditovat

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

  • Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem  , proto platí  
  • Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto   je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně,   je nejmenší kardinální číslo větší než  .
  •   je nejmenší kardinální číslo větší než   atd.
  • Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je  . Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce   řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme   jako supremum všech předchozích hodnot, tedy  .
  •   pak bude nejmenší kardinální číslo větší než  . Podobně se definuje   atd.
  •   pak bude supremum posloupnosti  
  • Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

DefiniceEditovat

Funkcí   rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

  •  
  • Pro každé ordinální číslo   je   rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než  
  • Pro každé limitní ordinální číslo   je  

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako  , právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce Editovat

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost  “.

Pevné bodyEditovat

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce   roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí   a všech matematických funkcí je  ), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla   taková, že  . Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti  

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat